Question

【題目】如右圖拋物線頂點在原點，圓（x﹣2）2+y2=22的圓心恰是拋物線的焦點，

（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）一直線的斜率等于2，且過拋物線焦點，它依次截拋物線和圓于A、B、C、D四點，求|AB|+|CD|的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），

∵圓（x﹣2）2+y2=22的圓心恰是拋物線的焦點，∴p=4．

∴拋物線的方程為：y2=8x；

（Ⅱ）依題意直線AB的方程為y=2x﹣4

設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），則 ，得x2﹣6x+4=0，

∴x1+x2=6，|AD|=x1+x2+p=6+4=10．

|AB|+|CD|=|AD|﹣|CB|=10﹣4=6．

【解析】（Ⅰ）本小題根據(jù)圓的方程確定圓的圓心，即確定拋物線的焦點坐標，進而求得拋物線的方程；（Ⅱ）本小題先根據(jù)所知條件求得直線AB的方程，再與拋物線方程聯(lián)立求得以點A，點B橫坐標為根的一元二次方程，再有拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等的特點得到：|AD|=x1+x2+p，最后由|AB|+|CD|=|AD|﹣|CB|求得|AB|+|CD|的值．
【考點精析】通過靈活運用圓的標準方程，掌握圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程即可以解答此題．