Question

【題目】已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，該橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.

（I）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖，若斜率為的直線與軸，橢圓順次交于點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)的左側(cè)）且，求證：直線過定點(diǎn)；并求出斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ）證明見解析，.

【解析】

（I）根據(jù)橢圓離心率求得，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得的值，進(jìn)而求得的值和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（II）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，得到，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式.設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)，寫出韋達(dá)定理和判別式，將韋達(dá)定理得到的式子代入，化簡(jiǎn)后可求得直線所過定點(diǎn).根據(jù)判別式，求得的取值范圍.

（Ⅰ）解：橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，橢圓的離心率為，即有，即，，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓方程為，

直線與圓相切，則有，

即有，

則橢圓C的方程為；

（Ⅱ）證明：設(shè)，

由，可得直線和關(guān)于x軸對(duì)稱

即有，即，

即有，①

設(shè)直線，代入橢圓方程，可得，判別式，即為②，③，

代入①可得，，

將③代入，化簡(jiǎn)可得，

則直線的方程為，即．即有直線恒過定點(diǎn)．

將代入②，可得，

解得或

則直線的斜率的取值范圍是．