Question

【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（2 ，1），且以橢圓短軸的兩個端點(diǎn)和一個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y）是橢圓E上的動點(diǎn)，M（2，0）為一定點(diǎn)，求|PM|的最小值及取得最小值時P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知：2b=a，
將（2 ，1）代入橢圓方程： ，
解得：b2=4，a2=16，
∴橢圓E的方程 ；
（Ⅱ）由丨PM丨2=（x﹣2）2+y2 ， 由P（x，y）在橢圓上，（﹣4≤x≤4）則y2=4﹣ ，
∴丨PM丨2=x2﹣4x+4+4﹣ = x﹣4x+8= （x+ ）+ ，
∴當(dāng)x=﹣ 時，丨PM丨取最小值，最小值為 ，
∴當(dāng)x=﹣ ，解得：y=± ，
∴|PM|的最小值 ，P點(diǎn)的坐標(biāo)（﹣ ，± ）．

【解析】（Ⅰ）由題意求得2b=a，將點(diǎn)（2 ，1），代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）利用兩點(diǎn)之間的距離公式，求得丨PM丨2=（x﹣2）2+y2 ， 由P在橢圓上，則y2=4﹣ ，代入利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得|PM|的最小值及P點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能得出正確答案．