【題目】為拋物線的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn),的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為,動(dòng)點(diǎn)滿足.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)當(dāng)四邊形的面積最小時(shí),求直線的方程.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)求出F,E的坐標(biāo),設(shè)l方程為x﹣my﹣1=0,聯(lián)立方程組消元,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出AB中點(diǎn)坐標(biāo),由向量加法的幾何意義可知AB的中點(diǎn)也是EP的中點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出P的軌跡關(guān)于m的參數(shù)方程,轉(zhuǎn)化為普通方程即可;
(2)利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算|AB|,E到l的距離d,得出S關(guān)于m的函數(shù),求出S取得最小值時(shí)的m,代入x﹣my﹣1=0得出l的方程.
(1)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),∴E(﹣1,0).
設(shè)直線l的方程為x﹣my﹣1=0.
聯(lián)立方程組,消元得:y2﹣4my﹣4=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),則y1+y2=4m,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2.
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(2m2+1,2m).
∵=+=2,∴M為EP的中點(diǎn).
∴,∴,即y2=4x﹣12.
∴點(diǎn)P的軌跡方程為y2=4x﹣12.
(2)由(I)得y1+y2=4m,y1y2=﹣4.
∴|AB|===4(m2+1).
E到直線l:x﹣my﹣1=0的距離d=,
∴S△ABE=|AB|d=4,
∵=+,∴四邊形EAPB是平行四邊形,
∴平行四邊形EAPB的面積S=2S△ABE=8.
∴當(dāng)m=0時(shí),S取得最小值8.
此時(shí)直線l的方程為x﹣1=0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,已知曲線的極坐標(biāo)方程為ρ=.
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)過(guò)極點(diǎn)O作直線l交曲線于點(diǎn)P,Q,若|OP|=3|OQ|,求直線l的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地,要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修),其它三面圍墻要新建,在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口,如圖所示,已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為x(單位:元)。
(Ⅰ)將y表示為x的函數(shù);
(Ⅱ)試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小,并求出最小總費(fèi)用。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工藝廠有銅絲5萬(wàn)米,鐵絲9萬(wàn)米,準(zhǔn)備用這兩種材料編制成花籃和花盆出售,已知一只花籃需要用銅絲200米,鐵絲300米;編制一只花盆需要100米,鐵絲300米,設(shè)該廠用所有原來(lái)編制個(gè)花籃, 個(gè)花盆.
(Ⅰ)列出滿足的關(guān)系式,并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(Ⅱ)若出售一個(gè)花籃可獲利300元,出售一個(gè)花盤(pán)可獲利200元,那么怎樣安排花籃與花盆的編制個(gè)數(shù),可使得所得利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】分別是雙曲線的左右焦點(diǎn),過(guò)的直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點(diǎn).若為等邊三角形,則的面積為( )
A. 8 B. C. D. 16
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四邊形,側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,AB=1,AC= ,BC=BB1=2.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面ABB1A1;
(Ⅱ)求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講]
在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x﹣1)2+y2= ,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(2,θ),過(guò)點(diǎn)M斜率為1的直線交圓C于A,B兩點(diǎn).
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)求|MA||MB|的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓E: =1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2 ,1),且以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)P(x,y)是橢圓E上的動(dòng)點(diǎn),M(2,0)為一定點(diǎn),求|PM|的最小值及取得最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).
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