Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的零點個數(shù)；

（2）若，，證明：，.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）將a的值代入f(x)，再求導(dǎo)得，在定義域內(nèi)討論函數(shù)單調(diào)性，再由函數(shù)的最小值正負(fù)來判斷它的零點個數(shù)；（2）把a的值代入f(x)，將整理化簡為，即證明該不等式在上恒成立，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可知其在定義域上的最小值，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)可知其定義域上的最大值，二者比較大小，即得證。

（1）解：因為，所以.

令，得或；令，得，

所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

而，，，

所以的零點個數(shù)為1.

（2）證明：因為，從而.

又因為，

所以要證，恒成立，

即證，恒成立，

即證，恒成立.

設(shè)，則，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減.

所以.

設(shè)，則，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減.

所以，所以，

所以，恒成立，

即，.