【題目】如圖，在直三棱柱中，已知，，，.是線段的中點.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的大小的余弦值.

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）利用空間向量研究線面角，首先建立恰當空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組求面的法向量，最后利用向量數(shù)量積求夾角余弦值的絕對值，也是線面角的正弦值（2）利用空間向量研究二面角，首先建立恰當空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組求兩個平面的法向量，最后利用向量數(shù)量積求夾角余弦值，根據(jù)圖形確定二面角的大小的余弦值與夾角余弦值之間關系.

試題解析：因為在直三棱柱中，，所以分別以、、所在的直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，

則,

因為是的中點，所以，

（1）因為，設平面的法向量，

則，即，取，

所以平面的法向量，而，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為；

（2），，設平面的法向量，

則，即，取，平面的法向量，

所以，

二面角的大小的余弦值．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的零點個數(shù)；

（2）若，，證明：，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展，居民收入逐年增長.某地區(qū)2014年至2018年農(nóng)村居民家庭人均純收入（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：

年份

2014

2015

2016

2017

2018

年份代號

1

2

3

4

5

人均純收入

5

4

7

8

10

（1）求關于的線性回歸方程；

（2）利用（1）中的回歸方程，分析2014年至2018年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測2019年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入為多少？

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，其短半軸長為，一個焦點坐標為，點在橢圓上，點在直線上的點，且．

證明：直線與圓相切；

求面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，是等邊三角形，四邊形是等腰梯形，，，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，且橢圓短軸的一個頂點到左焦點的距離等于．

（1）求橢圓的方程；

（2）設經(jīng)過點的直線交橢圓于兩點，弦的中垂線交軸于點．

①求實數(shù)的取值范圍；

②若，求實數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】中國古代數(shù)學經(jīng)典《數(shù)書九章》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點D），交PC于N（異于點C）.

（1）證明：平面，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫出它每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當時，函數(shù)在區(qū)間的最小值為，試比較與的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù).

（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在和處有兩個極值點，其中，.

（i）求實數(shù)的取值范圍；

（ii）若（e為自然對數(shù)的底數(shù)），求的最大值.

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