Question

【題目】如圖，在直角梯形中，∥，，，將直角梯形沿對(duì)角線(xiàn)折起，使點(diǎn)到點(diǎn)位置，則四面體的體積的最大值為________，此時(shí)，其外接球的表面積為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

四面體的體積的最大值時(shí)，面面，點(diǎn)到面的距離為斜邊上的高．求得即可求得四面體的體積的最大值，的外心為斜邊的中點(diǎn)，的外心為，過(guò)作面的垂線(xiàn)，過(guò)作面的垂線(xiàn)，兩垂線(xiàn)的交點(diǎn)即為球心，由面面，即可得即為球心，利用正弦定理即可得的外接圓半徑即為球半徑．

如圖，四面體的體積的最大值時(shí)，面面，

點(diǎn)到面的距離為斜邊上的高．

∵，

故最大體積為

的外心為斜邊的中點(diǎn)，的外心為，

過(guò)作面的垂線(xiàn)，過(guò)作面的垂線(xiàn)，兩垂線(xiàn)的交點(diǎn)即為球心．

∵面面，

∴即為球心，的外接圓半徑即為球半徑．

∴

∴外接球的表面積為．

故答案為：．