Question

【題目】定義域為集合上的函數(shù)滿足：①；②（）；③、、成等比數(shù)列；這樣的不同函數(shù)的個數(shù)為________

Answer 1

【答案】

【解析】

分析出f（x）的所有可能的取值，得到使f（x）中f（1）、f（6）、f（12）成等比數(shù)列時對應(yīng)的項，再運用計數(shù)原理求出這樣的不同函數(shù)f（x）的個數(shù)即可．

解：經(jīng)分析，f（x）的取值的最大值為x，最小值為2﹣x，并且成以2為公差的等差數(shù)列，故f（6）的取值為6，4，2，0，﹣2，﹣4．

f（12）的取值為12，10，8，6，4，2，0，﹣2，﹣4，﹣6，﹣8，﹣10，

所以能使f（x）中的f（1）、f（6）、f（12）成等比數(shù)列時，f（1）、f（6）、f（12）的取值只有兩種情況：

①f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4；②f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4．

|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11），f（x+1）＝f（x）+1，或者f（x+1）＝f（x）﹣1，即得到后項時，把前項加1或者把前項減1．

（1）當(dāng)f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4時；將要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，第一步：從f（1）變化到f（6），第二步：從f（6）變化的f（12）．

從f（1）變化到f（6）時有5次變化，函數(shù)值從1變化到2，故應(yīng)從5次中選擇3步加1，剩余的兩次減1．對應(yīng)的方法數(shù)為10種．

從f（6）變化到f（12）時有6次變化，函數(shù)值從2變化到4，故應(yīng)從6次變化中選擇4次增加1，剩余兩次減少1，對應(yīng)的方法數(shù)為15種．

根據(jù)分步乘法原理，共有10×15＝150種方法．

（2）當(dāng)f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4時，將要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，第一步：從f（1）變化到f（6），第二步：從f（6）變化的f（12）．

從f（1）變化到f（6）時有5次變化，函數(shù)值從1變化到﹣2，故應(yīng)從5次中選擇1步加1，剩余的4次減1．對應(yīng)的方法數(shù)為5種．

從f（6）變化到f（12）時有6次變化，函數(shù)值從﹣2變化到4，故應(yīng)從6次變化中選擇6次增加1，對應(yīng)的方法數(shù)為1種．

根據(jù)分步乘法原理，共有5×1＝5種方法．

綜上，滿足條件的f（x）共有：150+5＝155種．

故填：155．