設(shè)數(shù)列的前項和滿足,其中.
⑴若,求及;
⑵若,求證:,并給出等號成立的充要條件.

（1），；（2）當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立.

解析試題分析：(1)已知 與 的關(guān)系式求出首項和通項，通常都是取特值和寫一個遞推式相減即可.(2)由（1）得到，分析第1,2項可得后要證的問題等價于本題是通過利用對稱項的關(guān)系來證明的，該對稱項是通過對的范圍的討論得到的. 通過累加后得到，然后不等式的兩邊同時加上即可得到答案.
試題解析：⑴ ………①,
當(dāng)時代入①,得,解得;
由①得,兩式相減得(),故,故為公比為2的等比數(shù)列,
故(對也滿足);
⑵當(dāng)或時,顯然,等號成立.
設(shè),且,由(1)知,,,所以要證的不等式化為:
 
即證:
當(dāng)時,上面不等式的等號成立.
當(dāng)時,與,()同為負(fù);
當(dāng)時,   與,()同為正;
因此當(dāng)且時,總有 ()()>0,即
,().
上面不等式對從1到求和得,;
由此得 ;
綜上,當(dāng)且時,有,當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立.
考點：1.數(shù)列的求和與通項的關(guān)系.2.數(shù)列中不等式的證明.3.數(shù)列的累加法的應(yīng)用.4.分類的思想.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列滿足：其中，數(shù)列滿足：
（1）求；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）是否存在正數(shù)k，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù)，如果不存在，說明理由，如果存在，求出所有的k.

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已知數(shù)列，，且滿足．
（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前ｎ項和．

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已知數(shù)列的首項其中，，令集合.
（1）若是數(shù)列中首次為1的項，請寫出所有這樣數(shù)列的前三項；
（2）求證：對恒有成立；
（3）求證：.

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設(shè)公比大于零的等比數(shù)列的前項和為，且，，數(shù)列的前項和為，滿足，，．
（Ⅰ）求數(shù)列、的通項公式；
（Ⅱ）滿足對所有的均成立，求實數(shù)的取值范圍．

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已知數(shù)列是等比數(shù)列，首項.
(l)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列，證明數(shù)列是等差數(shù)列并求前n項和.

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已知等差數(shù)列的前項和為,.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2) 設(shè),求數(shù)列的前項和.

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等比數(shù)列的前項和為，已知對任意的 ，點均在函數(shù)且均為常數(shù)）的圖像上．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）當(dāng)時，記，求數(shù)列的前項和．

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設(shè)函數(shù)，數(shù)列前項和，，數(shù)列，滿足.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，證明： 。

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