Question

【題目】已知圓，橢圓（）的短軸長等于圓半徑的倍，的離心率為．

（1）求的方程；

（2）若直線與交于兩點，且與圓相切，證明：為直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）； （2）證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可求出的方程；

(2)法一，分直線斜率不存在和存在兩種情況，求出點坐標(biāo)利用向量數(shù)量積即可證明，法二，分和軸平行和不平行兩種情況，后和法一一樣.

（1）因為圓的半徑為，

所以的短軸長為，

所以，解得．

因為的離心率為，所以 ①，

又因為，所以 ②，

聯(lián)立①② ，解得，

所以所求的方程為

（2）證明：證法一：①當(dāng)直線斜率不存在時, 直線的方程為．

當(dāng)時，

所以

當(dāng)時，

所以，

綜上，

所以為直角三角形．

②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為

直線與圓相切，

即，

由得，，

所以

所以

所以

綜上所述: 所以為直角三角形．

證法二：①當(dāng)直線方程為時,

所以所以為直角三角形．

②當(dāng)直線方程為時，

所以所以為直角三角形．

③當(dāng)直線不與軸平行時，設(shè)其方程為

因為直線與圓相切，所以,即

由得,

所以

所以所以為直角三角形．

綜上所述: 為直角三角形．