橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，長軸端點與短軸端點間的距離為
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點D（0，4）的直線l與橢圓C交于兩點E，F(xiàn)，O為坐標(biāo)原點，若OE⊥OF，求直線l的斜率．
（Ⅰ）由已知
c
a
=
3
2
，a2+b2=5，…（2分）
又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1，
所以橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）根據(jù)題意，過點D（0，4）滿足題意的直線斜率存在，設(shè)l：y=kx+4，…（4分）
代入橢圓方程，消去y得（（1+4k2）x2+32kx+60=0，…（5分）
所以△=（32k）2-240（1+4k2）=64k2-240，
令△＞0，解得k2＞
15
4
．…（6分）
設(shè)E，F(xiàn)兩點的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），
則x1+x2=-
32k
1+4k2
，x1x2=
60
1+4k2
，…（7分）
因為OE⊥OF，所以
OE
•
OF
=0，即x1x2+y1y2=0，…（8分）
所以（1+k2）x1x2+4k（x1+x2）+16=0，
所以
15×(1+k2)
1+4k2
-
32k2
1+4k2
+4=0，解得k=±
19
．…（10分）
所以直線l的斜率為k=±
19
．…（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（理科）一動圓過定點P（0，1），且與定直線l：y=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）若（1）中的軌跡上兩動點記為A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=-16．
①求證：直線AB過一定點，并求該定點坐標(biāo)；
②求
1
|PA|
+
1
|PB|
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知點P（2，1），若拋物線y2=4x的一條弦AB恰好是以P為中點，則弦AB所在直線方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1兩漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1，又設(shè)l與l2交于點P，l與C兩交點自上而下依次為A、B；
（1）當(dāng)l1與l2夾角為
π
3
，雙曲線焦距為4時，求橢圓C的方程及其離心率；
（2）若
FA
=λ
AP
，求λ的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=2，點（1，
3
2
）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且△AF2B的面積為
12
2
7
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：
x2
4
+
y2
m
=1（0＜m＜4）的左頂點為A，M是橢圓C上異于點A的任意一點，點P與點A關(guān)于點M對稱．
（1）若點P的坐標(biāo)為（4，3），求m的值；
（2）若橢圓C上存在點M，使得OP⊥OM，求實數(shù)m的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

動點P與兩個定點A（-6，0），B（6，0）連線的斜率之積為-
1
3
，P點軌跡為C，
（1）求曲線C的方程；
（2）直線l過M（-2，2）與C交于E，G兩點，且線段EG中點是M，求l方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=8x，O為坐標(biāo)原點，動直線l：y=k（x+2）與拋物線C交于不同兩點A，B
（1）求證：
OA
•
OB
為常數(shù)；
（2）求滿足
OM
=
OA
+
OB
的點M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于點A、B和C、D；拋物線上的點T（2，t）（t＞0）到焦點的距離為3．
（1）求p、t的值；
（2）當(dāng)四邊形ACBD的面積取得最小值時，求直線AB的斜率．

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同步練習(xí)冊答案