已知拋物線C：y2=8x，O為坐標原點，動直線l：y=k（x+2）與拋物線C交于不同兩點A，B
（1）求證：
OA
•
OB
為常數(shù)；
（2）求滿足
OM
=
OA
+
OB
的點M的軌跡方程．
將y=k（x+2）代入y2=8x，整理得k2x2+（4k2-8）x+4k2=0，
∵動直線l與拋物線C交于不同兩點A、B，
∴k≠0且△＞0，即
k≠0
(4k2-8)2-16k4＞0
解得：-1＜k＜1且k≠0．
設A（x1，y2），B（x2，y2），則x1+x2=
8
k2
-4，x1x2=4．
（1）證明：
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1+2)(x2+2)
=(k2+1)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2=4(k2+1)+2k2(
8
k2
-4)+4k2=20，
∴
OA
•
OB
為常數(shù)．
（2）
OM
=
OA
+
OB
=(x1，y1)+(x2，y2)=（x1+x2，y1+y2）=（x1+x2，k（x1+x2+4））=(
8
k2
-4，
8
k
)．
設M（x，y），則
x=
8
k2
-4
y=
8
k
消去k得：y2=8x+32．
又由-1＜k＜1且k≠0得：0＜k2＜1，
1
k2
＞1，∴x=
8
k2
-4＞4，
∴點M的軌跡方程為y2=8x+32（x＞4）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

雙曲線E的漸近線方程為y=±
4
3
x，且經(jīng)過點(2
3
，
4
3
3
)
（1）求雙曲線E的方程；
（2）F1，F(xiàn)2為雙曲線E的兩個焦點，P為雙曲線上一點，若|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，長軸端點與短軸端點間的距離為
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點D（0，4）的直線l與橢圓C交于兩點E，F(xiàn)，O為坐標原點，若OE⊥OF，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于A，B兩點．
（1）求證：直線l與雙曲線C只有一個公共點；
（2）設直線l與雙曲線C的公共點為M，且
AM
=λ
AB
，證明：λ+e2=1；
（3）設P是點F1關于直線l的對稱點，當△PF1F2為等腰三角形時，求e的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在同一坐標系中，方程
x2
a2
+
y2
b2
=1與bx2=-ay（a＞b＞0）表示的曲線大致是（　�。�
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，過橢圓的右焦點F的直線l與橢圓交于點A、B，定直線x=4交x軸于點K，直線KA和直線KB的斜率分別是k1、k2．
（1）若直線l的傾斜角是45°，求線段AB的長；
（2）求證：k1+k2=0．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知A1（-3，0）A2（3，0）P（x，y）M（
x2-9
，0），若向量
A1P
，λ
OM
，
A2P
滿足(
OM
)2=3
A1P
•
A2P

（1）求P點的軌跡方程，并判斷P點的軌跡是怎樣的曲線；
（2）過點A1且斜率為1的直線與（1）中的曲線相交的另一點為B，能否在直線x=-9上找一點C，使△A1BC為正三角形．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點O為AB的中點，|AB|=
4
2
3
，|CD|=2-
4
2
3
，AC⊥BD．M為CD的中點．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數(shù)λ0，使
MP
=λ0
PN
，且P點到A、B的距離和為定值，求點P的軌跡E的方程；
（Ⅲ）過（0，
1
2
）的直線與軌跡E交于P、Q兩點，求△OPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在直線l：x-y+9=0上任取一點M，過M作以F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0）為焦點的橢圓，當M在什么位置時，所作橢圓長軸最短？并求此橢圓方程．

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同步練習冊答案