已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求證：直線l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）設(shè)直線l與雙曲線C的公共點(diǎn)為M，且
AM
=λ
AB
，證明：λ+e2=1；
（3）設(shè)P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)△PF1F2為等腰三角形時(shí)，求e的值．
（1）證明：因?yàn)锳、B分別是直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn)，
所以點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(-
a2
c
，0)，B（0，a），
解
y=ex+a
x2
a2
-
y2
b2
=1
整理得x2+2cx+c2=0，解得
x=-c
y=-
b2
a
即M(-c，-
b2
a
)，
所以直線l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)、…（3分）
（2）因?yàn)?span >
AM
=λ
AB
，所以(-c+
a2
c
，-
b2
a
)=λ(
a2
c
，a)．
所以-
b2
a
=λa，λ=-
b2
a2
=-
c2-a2
a2
=1-e2，即λ+e2=1…（6分）
（3）（�。┮�?yàn)橹本�AB為F1P的中垂線，而F2不在直線AB上（點(diǎn)A與F2不重合），
所以|F2F1|≠|(zhì)F2P|；…（7分）
（ⅱ）若|F2F1|=|F1P|，則
1
2
|F1P|=
1
2
|F1F2|，
所以
|e(-c)+0+a|
1+e2
=c，整理得3c2=a2，所以e=
3
3
＜1，不符合題意．…（9分）
（ⅲ）若|PF2|=|PF1|，則點(diǎn)P在y軸上，設(shè)P（0，yp），則kPF1=
yp
0-(-c)
=-
1
kAB
=-
a
c
，
所以yP=-a，即P（0，-a），
設(shè)N是PF1的中點(diǎn)，則N(-
c
2
，-
a
2
)，代入直線l的方程，得-
a
2
=e(-
c
2
)+a，
整理得c2=3a2，e2=3，所以e=
3
．…（12分）
綜上，當(dāng)△PF1F2為等腰三角形時(shí)，e=
3
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)C：的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為e，直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，且
AM
=
3
4
AB

（1）計(jì)算橢圓的離心率e
（2）若直線l向右平移一個(gè)單位后得到l′，l′被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為
5
4
，則求橢圓C的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1兩漸近線為l1、l2，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1，又設(shè)l與l2交于點(diǎn)P，l與C兩交點(diǎn)自上而下依次為A、B；
（1）當(dāng)l1與l2夾角為
π
3
，雙曲線焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程及其離心率；
（2）若
FA
=λ
AP
，求λ的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：
x2
4
+
y2
m
=1（0＜m＜4）的左頂點(diǎn)為A，M是橢圓C上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3），求m的值；
（2）若橢圓C上存在點(diǎn)M，使得OP⊥OM，求實(shí)數(shù)m的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)A（-6，0），B（6，0）連線的斜率之積為-
1
3
，P點(diǎn)軌跡為C，
（1）求曲線C的方程；
（2）直線l過(guò)M（-2，2）與C交于E，G兩點(diǎn)，且線段EG中點(diǎn)是M，求l方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1，直線l過(guò)點(diǎn)M（m，0）．
（Ⅰ）若直線l交y軸于點(diǎn)N，當(dāng)m=-1時(shí)，MN中點(diǎn)恰在橢圓C上，求直線l的方程；
（Ⅱ）如圖，若直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)m=-4時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)p，使得△PAB為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)p坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=8x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l：y=k（x+2）與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A，B
（1）求證：
OA
•
OB
為常數(shù)；
（2）求滿足
OM
=
OA
+
OB
的點(diǎn)M的軌跡方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知曲線C：
x2
m+2
+
y2
3-m
=1（m∈R）．
（Ⅰ）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m=2，過(guò)點(diǎn)D（0，4）的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠OMN為直角，求直線l的斜率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（1）已知△ABC的頂點(diǎn)A（0，-1），B（0，1），直線AC，直線BC的斜率之積等于m（m0），求頂點(diǎn)C的軌跡方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線．
（2）已知圓M的方程為：（x+1）2+y2=（2a）2（a＞0，且a1），定點(diǎn)N（1，0），動(dòng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)，線段PN的垂直平分線與直線MP相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q軌跡方程．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案