已知曲線C：
x2
m+2
+
y2
3-m
=1（m∈R）．
（Ⅰ）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m=2，過(guò)點(diǎn)D（0，4）的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠OMN為直角，求直線l的斜率．
（Ⅰ）若曲線C：
x2
m+2
+
y2
3-m
=1是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
則有m+2＞3-m＞0，
解得
1
2
＜m＜3．
∴m的取值范圍是（
1
2
，3）．（3分）
（Ⅱ）m=2時(shí)，曲線C的方程為
x2
4
+y2=1，C為橢圓，
由題意知，點(diǎn)D（0，4）的直線l的斜率存在，
∴設(shè)l的方程為y=kx+4，
由
x2
4
+y2=1，
y=kx+4

消去y得（1+4k2）x2+32kx+60=0．（5分）
△=（32k）2-240（1+4k2）=64k2-240，
當(dāng)△＞0時(shí)，解得k2＞
15
4
．
設(shè)M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），
因?yàn)椤螼MN為直角，所以kOM•k=-1，即
y1
x1
•
y1-4
x1
=-1，
整理得
x21
=4y1-
y21
．①（7分）
又
x21
4
+
y21
=1，②，
將①代入②，消去x1得3
y21
+4y1-4=0，
解得y1=
2
3
或y1=-2（舍去），
將y1=
2
3
代入①，得x1=±
2
3
5
，
∴k=
y1-4
x1
=±
5
．
故所求k的值為±
5
．（9分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，A，B為兩個(gè)頂點(diǎn)，已知橢圓C上的點(diǎn)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和為4且b=
3
．
（1）求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)F2作AB的平行線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，求△F1PQ的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求證：直線l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）設(shè)直線l與雙曲線C的公共點(diǎn)為M，且
AM
=λ
AB
，證明：λ+e2=1；
（3）設(shè)P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)△PF1F2為等腰三角形時(shí)，求e的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于點(diǎn)A、B，定直線x=4交x軸于點(diǎn)K，直線KA和直線KB的斜率分別是k1、k2．
（1）若直線l的傾斜角是45°，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）求證：k1+k2=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A1（-3，0）A2（3，0）P（x，y）M（
x2-9
，0），若向量
A1P
，λ
OM
，
A2P
滿(mǎn)足(
OM
)2=3
A1P
•
A2P

（1）求P點(diǎn)的軌跡方程，并判斷P點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線；
（2）過(guò)點(diǎn)A1且斜率為1的直線與（1）中的曲線相交的另一點(diǎn)為B，能否在直線x=-9上找一點(diǎn)C，使△A1BC為正三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

矩形ABCD的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊AB與x軸平行，AB=8，BC=6．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R，S，T是線段OF的四等分點(diǎn)，R′，S′，T′是線段CF的四等分點(diǎn)．設(shè)直線ER與GR′，ES與GS′，ET與GT′的交點(diǎn)依次為L(zhǎng)，M，N．
（1）求以HF為長(zhǎng)軸，以EG為短軸的橢圓Q的方程；
（2）根據(jù)條件可判定點(diǎn)L，M，N都在（1）中的橢圓Q上，請(qǐng)以點(diǎn)L為例，給出證明（即證明點(diǎn)L在橢圓Q上）．
（3）設(shè)線段OF的n（n∈N+，n≥2）等分點(diǎn)從左向右依次為Ri（i=1，2，…，n-1），線段CF的n等分點(diǎn)從上向下依次為T(mén)i（i=1，2，…，n-1），那么直線ERi（i=1，2，…，n-1）與哪條直線的交點(diǎn)一定在橢圓Q上？（寫(xiě)出結(jié)果即可，此問(wèn)不要求證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，|AB|=
4
2
3
，|CD|=2-
4
2
3
，AC⊥BD．M為CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）過(guò)M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數(shù)λ0，使
MP
=λ0
PN
，且P點(diǎn)到A、B的距離和為定值，求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（Ⅲ）過(guò)（0，
1
2
）的直線與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)，求△OPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，拋物線y2=2
5
x的焦點(diǎn)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，
3
)，又知直線l：y=kx+1與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若
OA
⊥
OB
，求實(shí)數(shù)k值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)A（x，y）到點(diǎn)F1（-1，0）與點(diǎn)F2（1，0）的距離之和為4．
（1）試求點(diǎn)A的軌跡M的方程；
（2）若斜率為
1
2
的直線l與軌跡M交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P(1，
3
2
)為軌跡M上一點(diǎn)，記直線PC的斜率為k1，直線PD的斜率為k2，試問(wèn)：k1+k2是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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