如圖，過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于點(diǎn)A、B和C、D；拋物線上的點(diǎn)T（2，t）（t＞0）到焦點(diǎn)的距離為3．
（1）求p、t的值；
（2）當(dāng)四邊形ACBD的面積取得最小值時(shí)，求直線AB的斜率．
（1）有拋物線的定義可知點(diǎn)T（2，t），（t＞0）到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3，
即有2+
p
2
=3可得P=2，將T（2，t）代入y2=4x
得t=2
2
．
（2）∵F（1，0），故設(shè)直線AB的方程為：x=my+1（m＜0），
聯(lián)立拋物線方程y2=4x，消元可得：y2-4my-4=0，
令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），
則由拋物線的定義可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=m（y1+y2）+4=4m•m+4=4（m2+1）．
∵CD⊥AB，∴CD直線的方程為：x=-
1
m
y+1，
同理|CD|=4[（-
1
m
）2+1]
從而S四邊形ABCD=
1
2
|AB||CD|=
1
2
•16•(m2+1)(
1
m2
+1)
=8(2+m2+
1
m2
)≥8(2+2
m2•
1
m2
)
=32．（當(dāng)m=-1時(shí)取等號(hào)）．
因此四邊形ABCD的面積的最小值為32，此時(shí)直線AB的斜率為-1．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，長(zhǎng)軸端點(diǎn)與短軸端點(diǎn)間的距離為
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)D（0，4）的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)E，F(xiàn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OE⊥OF，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A1（-3，0）A2（3，0）P（x，y）M（
x2-9
，0），若向量
A1P
，λ
OM
，
A2P
滿足(
OM
)2=3
A1P
•
A2P

（1）求P點(diǎn)的軌跡方程，并判斷P點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線；
（2）過點(diǎn)A1且斜率為1的直線與（1）中的曲線相交的另一點(diǎn)為B，能否在直線x=-9上找一點(diǎn)C，使△A1BC為正三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，|AB|=
4
2
3
，|CD|=2-
4
2
3
，AC⊥BD．M為CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數(shù)λ0，使
MP
=λ0
PN
，且P點(diǎn)到A、B的距離和為定值，求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（Ⅲ）過（0，
1
2
）的直線與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)，求△OPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：x2+
y2
a2
=1(a＞1)的離心率為e，點(diǎn)F為其下焦點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F的直線l：y=mx-c（其中c=
a2-1
）與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足：
OP
•
OQ
=
a2(c2-m2)-1
2-c2
．
（Ⅰ）試用a表示m2；
（Ⅱ）求e的最大值；
（Ⅲ）若e∈(
1
3
，
1
2
)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，拋物線y2=2
5
x的焦點(diǎn)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(1，
3
)，又知直線l：y=kx+1與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若
OA
⊥
OB
，求實(shí)數(shù)k值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1作直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，△F2PQ的周長(zhǎng)為4
3
．
（1）若橢圓的離心率e=
3
3
，求橢圓的方程；
（2）若M為橢圓上一點(diǎn)，
MF1
•
MF2
=1，求△MF1F2的面積最大時(shí)的橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在直線l：x-y+9=0上任取一點(diǎn)M，過M作以F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0）為焦點(diǎn)的橢圓，當(dāng)M在什么位置時(shí)，所作橢圓長(zhǎng)軸最短？并求此橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知一條曲線C在y軸右側(cè)，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為D（2，-1），求直線l的一般式方程．

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