已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其左、右焦點分別為F1、F2，過F1作直線交橢圓于P、Q兩點，△F2PQ的周長為4
3
．
（1）若橢圓的離心率e=
3
3
，求橢圓的方程；
（2）若M為橢圓上一點，
MF1
•
MF2
=1，求△MF1F2的面積最大時的橢圓方程．
（1）∵△F2PQ的周長為4
3
，∴4a=4
3
，
∴a=
3
，
又∵橢圓的離心率e=
3
3
，∴c=1，
∴b=
a2-c2
=
2
，
∴橢圓的方程為
x2
3
+
y2
2
=1…（4分）
（2）設M（x0，y0），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c＞0），
由
MF1
•
MF2
=1，得x02+y02=c2+1 ①…（6分）
又b2x02+a2y02=a2b2②…（7分）
由 ①②可得y02=
2b2-b2c2
c2
=
(a2-c2)(2-c2)
c2
…（8分）
∵y02＞0，∴c2＜2．
又由①可知x02+y02=c2+1≥b2=a2-c2=3-c2，
∴c2≥1，
∴1≤c2＜2．…（10分）
△MF1F2的面積=
1
2
•2c|y0|=
c4-5c2+6
=
(c2-
5
2
)2-
1
4

由函數(shù)單調性知僅當c2=1時△MF1F2的面積有最大值
2
，
此時b=
a2-c2
=
2
…（11分）
∴所求的橢圓方程為
x2
3
+
y2
2
=1…（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

動點P與兩個定點A（-6，0），B（6，0）連線的斜率之積為-
1
3
，P點軌跡為C，
（1）求曲線C的方程；
（2）直線l過M（-2，2）與C交于E，G兩點，且線段EG中點是M，求l方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=12x，點M（-1，0），過M的直線l交拋物線C于A，B兩點．
（Ⅰ）若線段AB中點的橫坐標等于2，求直線l的斜率；
（Ⅱ）設點A關于x軸的對稱點為A′，求證：直線A′B過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于點A、B和C、D；拋物線上的點T（2，t）（t＞0）到焦點的距離為3．
（1）求p、t的值；
（2）當四邊形ACBD的面積取得最小值時，求直線AB的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

直線l：y=kx+1與雙曲線C：3x2-y2=1相交于不同的A，B兩點．
（1）求AB的長度；
（2）是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經過坐標原點？若存在，求出k的值，若不存在，寫出理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（1）已知△ABC的頂點A（0，-1），B（0，1），直線AC，直線BC的斜率之積等于m（m0），求頂點C的軌跡方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線．
（2）已知圓M的方程為：（x+1）2+y2=（2a）2（a＞0，且a1），定點N（1，0），動點P在圓M上運動，線段PN的垂直平分線與直線MP相交于點Q，求點Q軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，O為坐標原點；當拋物線上點N的縱坐標為1時，|NF|=2，已知直線l經過拋物線C的焦點F，且與拋物線C交于A，B兩點
（1）求拋物線C的方程；
（2）若△AOB的面積為4，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，短軸長為2，點A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓上的兩點，
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
•
n
=0．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c）（c為半焦距），求直線AB的斜率；
（3）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過點M（2，0）的直線l與拋物線y2=x交于A，B兩點，則
OA
•
OB
的值為（　�。�
A．0B．1C．2D．3

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