Question

【題目】已知函數(shù)．

討論函數(shù)的極值點的個數(shù)；

若函數(shù)有兩個極值點，，證明：．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2)見解析

【解析】

先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過討論a的范圍確定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而判斷函數(shù)極值點個數(shù)；

由可知當且僅當時有極小值和極大值，且，是方程的兩個正根，則，根據(jù)函數(shù)表示出，令，通過對求導(dǎo)即可證明結(jié)論．

解：函數(shù)，

，

，當時，，，

當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增；

當時，有極小值；

當時，，故，

在上單調(diào)遞減，故此時無極值；

當時，，方程有兩個不等的正根，．

可得，．

則當及時，

，單調(diào)遞減；

當時， ；單調(diào)遞增；

在處有極小值，在處有極大值．

綜上所述：當時，有1個極值點；

當時，沒有極值點；

當時，有2個極值點．

由可知當且僅當時有極小值點

和極大值點，且，是方程的兩個正根，

則，．

；

令，

；，

在上單調(diào)遞減，故，

．