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【題目】已知A為焦距為的橢圓Eab0)的右頂點,點P0,),直線PA交橢圓E于點B,

1)求橢圓E的方程;

2)設過點P且斜率為的直線與橢圓E交于M、N兩點(MP、N之間),若四邊形MNAB的面積是PMB面積的5倍.求直線的斜率

【答案】(1)+=1;(2k=±

【解析】

1)先根據條件得B點坐標,代入橢圓方程,再與焦距聯立方程組解得2)根據面積關系得,聯立直線方程與橢圓方程,利用韋達定理建立等量關系解得斜率.

1)由題意,得焦距2c=2,∴2c=2,c=,

,所以點B為線段AP的中點,

因為點P0,2),Aa,0),

B),

因為點B)在橢圓E上,∴+=1,

b2=42=b2+c2=9,

∴橢圓E的方程為+=1

2)由題可得SPAN=6SPBM,即|PA||PN|sinAPN=6×|PB||PM|sinBPM

|PN|=3||,∴,設Mx1,y1),Nx2y2),

于是=x1y1-2),=x2y2-2),

∴3(x1,y1-2=x2,y2-2),

x2=3 x1,即=3,于是+=,即=,①,

聯立,消去y,整理得(9k2+4x2+36kx+72=0

=36k2-4×9k2+4×720,解得k2,

x1+x2=-,x1x2=,

代入①可解得k2=,滿足k2,∴k=±,即直線l的斜率k=±

練習冊系列答案
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