【題目】已知函數(shù),,且).

(1)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)若,設(shè) ,的導(dǎo)函數(shù),判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明.

【答案】(1)(2)見(jiàn)解析

【解析】分析:(1)由題意,求導(dǎo),若k0,則g′(x)0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得g(x)最大值,即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍;

(2)構(gòu)造輔助函數(shù),求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)的判斷,即可求得f'(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

詳解: (1)當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立,

,求導(dǎo),

,則,

,則,所以上是增函數(shù),所以,符合題意,

當(dāng)時(shí),令,解得,

上是減函數(shù),當(dāng)時(shí),,不符合題意,

綜上可知的取值范圍為.

(2)證明:由題意:,由此可得為一個(gè)零點(diǎn),

),則

的減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為,

其中,則,,

當(dāng)時(shí),,

由零點(diǎn)存在定理及單調(diào)性可知在上存在唯一的零點(diǎn),

,則,令,知上是減函數(shù),

故當(dāng)時(shí),,即,

由零點(diǎn)存在定理及單調(diào)性可知在上存在唯一,

的單調(diào)遞減區(qū)間是,則在僅存在唯一的零點(diǎn)

綜上可知共有三個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某面包店隨機(jī)收集了面包種類的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:

面包類型

第一類

第二類

第三類

第四類

第五類

第六類

面包個(gè)數(shù)

90

60

30

80

100

40

好評(píng)率

0.6

0.45

0.7

0.35

0.6

0.5

好評(píng)率是指:一類面包中獲得好評(píng)的個(gè)數(shù)與該類面包的個(gè)數(shù)的比值.

1)從面包店收集的面包中隨機(jī)選取1個(gè),求這個(gè)面包是獲得好評(píng)的第五類面包的概率;

2)從面包店收集的面包中隨機(jī)選取1個(gè),估計(jì)這個(gè)面包沒(méi)有獲得好評(píng)的概率;

3)面包店為增加利潤(rùn),擬改變生產(chǎn)策略,這將導(dǎo)致不同類型面包的好評(píng)率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類面包的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類面包的好評(píng)率增加0.1,哪類面包的好評(píng)率減少0.1,使得獲得好評(píng)的面包總數(shù)與樣本中的面包總數(shù)的比值達(dá)到最大?(只需寫出結(jié)論)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,設(shè)橢圓a1.

)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用ak表示);

)若任意以點(diǎn)A0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn),求橢圓離心率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】2015年7月9日21時(shí)15分,臺(tái)風(fēng)“蓮花”在我國(guó)廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸,造成165.17萬(wàn)人受災(zāi),5.6萬(wàn)人緊急轉(zhuǎn)移安置,288間房屋倒塌,46.5千公頃農(nóng)田受災(zāi),直接經(jīng)濟(jì)損失12.99億元.距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺(tái)風(fēng)的影響,適逢暑假,小明調(diào)查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成,,,五組,并作出如圖頻率分布直方圖:

(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)小區(qū)平均每戶居民的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);

(2)小明向班級(jí)同學(xué)發(fā)出倡議,為該小區(qū)居民捐款,現(xiàn)從損失超過(guò)4000元的居民中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行捐款援助,設(shè)抽出損失超過(guò)8000元的居民為戶,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(3)臺(tái)風(fēng)后區(qū)委會(huì)號(hào)召小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如圖,根據(jù)圖表格中所給數(shù)據(jù),分別求,,,,,的值,并說(shuō)明是否有以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)?

經(jīng)濟(jì)損失不超過(guò)4000元

經(jīng)濟(jì)損失超過(guò)4000元

合計(jì)

捐款超過(guò)500元

捐款不超過(guò)500元

合計(jì)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

附:臨界值表參考公式:,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】美國(guó)對(duì)中國(guó)芯片的技術(shù)封鎖,這卻激發(fā)了中國(guó)“芯”的研究熱潮,中國(guó)華為公司研發(fā)的、兩種芯片都已獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金千萬(wàn)元,現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn),經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè),生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比,已知每投入千萬(wàn)元,公司獲得毛收入千萬(wàn)元;生產(chǎn)芯片的毛收入(千萬(wàn)元)與投入的資金(千萬(wàn)元)的函數(shù)關(guān)系為都為常數(shù)),其圖象如圖所示.

1)試分別求出生產(chǎn)、兩種芯片的毛收入(千萬(wàn)元)與投入資金(千萬(wàn)元)函數(shù)關(guān)系式;

2)現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入億元資金同時(shí)生產(chǎn)、兩種芯片,設(shè)投入千萬(wàn)元生產(chǎn)芯片,用表示公司所獲利潤(rùn),當(dāng)為多少時(shí),可以獲得最大利潤(rùn)?并求最大利潤(rùn).(利潤(rùn)芯片毛收入芯片毛收入研發(fā)耗費(fèi)資金)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,ABC內(nèi)接于圓柱的底面圓O,AB是圓O的直徑AB2,BC1,DC、EB是兩條母線tanEAB.

(1)求三棱錐CABE的體積;

(2)證明:平面ACD⊥平面ADE;

(3)CD上是否存在一點(diǎn)M,使得MO∥平面ADE證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:

需要

40

30

不需要

160

270

(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例。

(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)百分之一的前提下認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?

附:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比它到直線的距離小1,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線,過(guò)點(diǎn)的直線交曲線兩個(gè)不同的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作曲線的切線,且二者相交于點(diǎn).

(1)求曲線的方程;

(2)求證:;

(3)求 的面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).若以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為

(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)若曲線與曲線有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案