【題目】已知一列函數(shù),設(shè)直線的交點為,點軸和直線上的射影分別為,記的面積為的面積為.

1)求的最小值,并指出此時的取值;

2)在中任取一個函數(shù),求該函數(shù)在上是增函數(shù)或在上是減函數(shù)的概率;

3)是否存在正整數(shù),使得成立,若存在,求出的值,若不存在,請說明理由.

【答案】1,23)不存在

【解析】

1)根據(jù)題意表示出,結(jié)合基本不等式即可求得最小值及取得最小值時的值.

2)根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,結(jié)合打勾函數(shù)的圖像與性質(zhì),即可判斷在上是增函數(shù)或在上是減函數(shù)的所有情況,即可求得在中滿足條件的概率.

3)由直線的交點為,即可求得點的坐標(biāo).由點軸和直線上的射影分別為,結(jié)合點到直線距離公式即可求得的坐標(biāo).表示出的面積,的面積.將、的表達(dá)式代入等式,通過化簡變形,檢驗即可得知的值,若不存在.

1)函數(shù)

所以

由基本不等式可知,

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,時取等號

所以的最小值為,當(dāng)時取等號

2)因為結(jié)合對勾函數(shù)的圖像與性質(zhì)

所以

內(nèi)滿足單調(diào)遞增,不滿足.因而滿足在內(nèi)滿足單調(diào)遞增的函數(shù)共有49.

因為,

滿足在內(nèi)單調(diào)遞減,所以此時共有

所以該函數(shù)在上是增函數(shù)或在上是減函數(shù)的個數(shù)共有

即該函數(shù)在上是增函數(shù)或在上是減函數(shù)的概率為

3)因為直線的交點為

所以

軸上的射影為,所以

在直線上的射影為,直線方程化為一般式可得

則由點到直線距離公式可得

軸作垂直,于點E

所以

畫出函數(shù)圖像如下圖所示:

所以的面積為

的面積為

假設(shè)存在正整數(shù),使得成立,代入可得

將式子化簡可得

當(dāng),等式左邊等于20,等式右邊等于17,等式不成立

當(dāng),等式左邊等于32,等式右邊等于68,等式不成立

當(dāng),等式左邊小于0,等式右邊大于0,等式不成立.

綜上可知,不存在正整數(shù),使得成立

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某市計劃在一片空地上建一個集購物、餐飲、娛樂為一體的大型綜合園區(qū),如圖,已知兩個購物廣場的占地都呈正方形,它們的面積分別為13公頃和8公頃;美食城和歡樂大世界的占地也都呈正方形,分別記它們的面積為公頃和公頃;由購物廣場、美食城和歡樂大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三角形,分別記它們的面積為公頃和公頃.

1)設(shè),用關(guān)于的函數(shù)表示,并求在區(qū)間上的最大值的近似值(精確到0.001公頃);

2)如果,并且,試分別求出、、、的值.

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【題目】已知數(shù)列{an}是以d為公差的等差數(shù)列,{bn}數(shù)列是以q為公比的等比數(shù)列.

(1)若數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,且a1b1d=2,S3a1003+5b2﹣2010,求整數(shù)q的值;

(2)在(1)的條件下,試問數(shù)列中是否存在一項bk,使得bk恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)ppN,p≥2)項的和?請說明理由;

(3)若b1arb2asar,b3at(其中tsr,且(sr)是(tr)的約數(shù)),求證:數(shù)列{bn}中每一項都是數(shù)列{an}中的項.

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【題目】已知曲線,對坐標(biāo)平面上任意一點,定義,若兩點,,滿足,稱點,在曲線同側(cè);,稱點,在曲線兩側(cè).

(1)直線過原點,線段上所有點都在直線同側(cè),其中,,求直線的傾斜角的取值范圍;

(2)已知曲線,為坐標(biāo)原點,求點集的面積;

(3)記到點與到軸距離和為的點的軌跡為曲線,曲線,若曲線上總存在兩點,在曲線兩側(cè),求曲線的方程與實數(shù)的取值范圍.

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【題目】某溫室大棚規(guī)定,一天中,從中午12點到第二天上午8點為保溫時段,其余4小時為工作作業(yè)時段,從中午12點連續(xù)測量20小時,得出此溫室大棚的溫度y(單位:度)與時間t(單位:小時,)近似地滿足函數(shù)關(guān)系,其中,b為大棚內(nèi)一天中保溫時段的通風(fēng)量。

1)若一天中保溫時段的通風(fēng)量保持100個單位不變,求大棚一天中保溫時段的最低溫度(精確到0.1℃);

2)若要保持一天中保溫時段的最低溫度不小于17℃,求大棚一天中保溫時段通風(fēng)量的最小值。

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【題目】給出條件:①;②;③;④;使得函數(shù),對任意,都使成立的條件序號是()

A.①③B.②④C.③④D.②③

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【題目】對于定義在上的函數(shù),若函數(shù)滿足:①在區(qū)間上單調(diào)遞減,②存在常數(shù),使其值域為,則稱函數(shù)是函數(shù)的“漸近函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)是不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”,說明理由;

(2)求證:函數(shù)不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”;

(3)若函數(shù),,求證:當(dāng)且僅當(dāng)時,的“漸近函數(shù)”.

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【題目】已知數(shù)列各項不為0,前項和為.

(1)若,求數(shù)列的通項公式;

(2)在(1)的條件下,已知,分別求的表達(dá)式;

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