【題目】已知數(shù)列各項不為0，前項和為.

（1）若，，求數(shù)列的通項公式；

（2）在（1）的條件下，已知，分別求和的表達式；

（3）證明：是等差數(shù)列的充要條件是：對任意，都有：.

【答案】（1）；（2） 4（）n﹣4，；（3）證明見解析

【解析】

根據(jù)與的關(guān)系式， ，計算即可得出答案.

（2）將各項配湊成二項式展開式的形式，再利用二項式展開式的性質(zhì)計算即可;關(guān)于，利用倒序求和法，再用二項式展開式化簡，即可得出答案.

（3）必要性：利用裂項相消法化簡即可得證；充分性：兩次作差變形即可說明其為等差數(shù)列.

（1） 因為，所以

當時，

當時，有

即

所以數(shù)列為以為首項，為公比的等比數(shù)列.

所以.

（2），

所以

所以

所以

①

②

①+②：

（3）證明：先證必要性.設(shè)數(shù)列的公差為,若，則不等式顯然成立.

若，則

.

再證充分性：依題意有，

，

化簡得：

同理可得：

得：，即.

所以數(shù)列為等差數(shù)列.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中，

（1）當時，求使得等式成立的的取值范圍；

（2）當時，求使得等式成立的的取值范圍；

（3）求的區(qū)間上的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知一列函數(shù)，設(shè)直線與的交點為，點在軸和直線上的射影分別為，記的面積為，的面積為.

（1）求的最小值，并指出此時的取值；

（2）在中任取一個函數(shù)，求該函數(shù)在上是增函數(shù)或在上是減函數(shù)的概率；

（3）是否存在正整數(shù)，使得成立，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某社會機構(gòu)為了調(diào)查對手機游戲的興趣與年齡的關(guān)系，通過問卷調(diào)查，整理數(shù)據(jù)得如下列聯(lián)表：

（1）根據(jù)列聯(lián)表，能否有99.9%的把握認為對手機游戲的興趣程度與年齡有關(guān)?

（2）若已經(jīng)從40歲以下的被調(diào)查者中用分層抽樣的方式抽取了5名，現(xiàn)從這5名被調(diào)查者中隨機選取3名，求這3名被調(diào)查者中恰有1名對手機游戲無興趣的概率.

附：

參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，平面ABCD，，點E，F為PC，PA的中點．

（1）求證：平面BDE⊥平面ABCD；

（2）二面角E—BD—F的大小；

（3）設(shè)點M在PB(端點除外)上,試判斷CM與平面BDF是否平行，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是

A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，某沿海地區(qū)計劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通A，B兩地，A地位于東西方向的直線MN上的陸地處，B地位于海上一個燈塔處，在A地用測角器測得，在A地正西方向4km的點C處，用測角器測得.擬定鋪設(shè)方案如下：在岸MN上選一點P，先沿線段AP在地下鋪設(shè)，再沿線段PB在水下鋪設(shè).預(yù)算地下、水下的電纜鋪設(shè)費用分別為2萬元/km和4萬元/km，設(shè)，，鋪設(shè)電纜的總費用為萬元.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）試問點P選在何處時，鋪設(shè)的總費用最少，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；

（2）設(shè)點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”．某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了大年初三上午這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段記作區(qū)間，記作，記作，記作，例如：10點04分,記作時刻64．

（1）估計這600輛車在時間段內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表；

（2）為了對數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中,在之間通過的車輛數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在每天通過該收費點的時刻服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表，已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在之間通過的車輛數(shù)結(jié)果保留到整數(shù)．

參考數(shù)據(jù)：若,則；

；．

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