Question

已知函數(shù)（）．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果是曲線上的任意一點(diǎn)，若以為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；
（3）討論關(guān)于的方程的實(shí)根情況．

Answer 1

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為 _，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）的最小值為；（3）時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)根．

解析試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)思想，分類(lèi)討論思想，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，先求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，得到方程的根，則為增函數(shù)，為減函數(shù)，本問(wèn)要注意函數(shù)的定義域；第二問(wèn)，先利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，得到恒成立的表達(dá)式，將其轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，所以關(guān)鍵就是求，配方法求最大值即可；第三問(wèn)，先將原方程化為，設(shè)，看函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，討論最大值的三種情況來(lái)決定方程根的情況.
試題解析：(Ⅰ) ，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6e/1/1o1v44.png" style="vertical-align:middle;" />，
則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9c/7/q3v7u1.png" style="vertical-align:middle;" />，由得， 由得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為 _，單調(diào)遞減區(qū)間為．   .3分
(Ⅱ)由題意，以為切點(diǎn)的切線的斜率滿足
 ，
所以對(duì)恒成立．
又當(dāng)時(shí)， ，
所以的最小值為．        .6分
(Ⅲ)由題意，方程化簡(jiǎn)得
令，則．
當(dāng)時(shí)， ，
當(dāng)時(shí)， ，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
所以在處取得極大值即最大值，最大值為．
所以當(dāng)，即時(shí)， 的圖象與軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)，
方程有兩個(gè)實(shí)根，
當(dāng)時(shí)，的圖象與軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，
方程有一個(gè)實(shí)根，
當(dāng)時(shí)，的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，
方程無(wú)實(shí)根．                12分
考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.