【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2x+2 sinxcosx+sin(x+ )sin(x﹣ ),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;
(2)若x=x0(0≤x0 )為f(x)的一個(gè)零點(diǎn),求cos2x0的值.

【答案】
(1)解: f(x)=sin2x+ sin2x+ (sin2x﹣cos2x)= + sin2x﹣ cos2x,

= sin2x﹣cos2x+ =2sin(2x﹣ )+ ,

∴f(x)的周期為π,由﹣ +2kπ≤2x﹣ +2kπ得:﹣ +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z.

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣ +kπ, +kπ]k∈Z.


(2)解:由f(x0)=2sin(2x0 )+ =0,得sin(2x0 )=﹣ <0,

又由0≤x0 得﹣ ≤2x0 ,

∴﹣ ≤2x0 ≤0,故cos(2x0 )= ,

此時(shí)cos2x0=cos[(2x0 )+ ]=cos(2x0 )cos ﹣sin(2x0 )sin = × ﹣(﹣ )× =


【解析】(1)利用三角恒等變換可求得f(x)=2sin(2x﹣ )+ ,利用正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性即可求得f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;(2)由f(x0)=2sin(2x0 )+ =0,得sin(2x0 )=﹣ <0,0≤x0 ,可得﹣ ≤2x0 ≤0,于是可求得cos(2x0 )的值,利用兩角和的余弦即可求得答案.

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)求;

)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

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