【題目】已知點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓的右頂點(diǎn).

（1）求過點(diǎn)F、A且和直線相切的圓C的方程；

（2）過點(diǎn)F任作一條不與軸重合的直線，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA，QA分別與直線相交于點(diǎn)M，N.試證明：以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)F.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

由已知可得，即可求出其中垂線,即可得出半徑為7,即可求出圓心坐標(biāo).即可寫出圓C的方程.

以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)等價于,討論直線的斜率是否存在，寫出直線，聯(lián)立解出P、Q,結(jié)合寫出直線,即可得到點(diǎn)M，N，結(jié)合，即可說明.

（1）由已知得：

圓C的圓心一定在線段AF中垂線上

由圓C與直線相切，得：圓C的半徑

設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為，則有：

，

即圓心

圓C的方程為：

（2）證明：當(dāng)直線斜率不存在時，其方程為,

聯(lián)立,解得，又因?yàn)?/span>.

所以直線為.

可求得M,N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為或，又

的斜率之積為：

.

當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：

聯(lián)立方程組：，

消去整理得：

又設(shè)

由P,A,M共線得：，

由Q,A,N共線得：，

所以FM,FN的斜率之積為：

綜上可知：恒有

以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)F.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟四斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？其意是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償4斗粟，羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，牛、馬、羊的主人各應(yīng)賠償多少粟？在這個問題中，牛主人比羊主人多賠償了多少斗（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）求 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）定義：對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為函數(shù)的不動點(diǎn). 如果函數(shù)存在兩個不同的不動點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】小張上班從家到公司開車有兩條線路，所需時間（分鐘）隨交通堵塞狀況有所變化，其概率分布如下表所示：

所需時間（分鐘）

30

40

50

60

線路一

0.5

0.2

0.2

0.1

線路二

0.3

0.5

0.1

0.1

則下列說法正確的是（ ）

A.任選一條線路，“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是對立事件

B.從所需的平均時間看，線路一比線路二更節(jié)省時間

C.如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)該走線路一

D.若小張上、下班走不同線路，則所需時間之和大于100分鐘的概率為0.04

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【題目】下列說法正確的是( )

A.在做回歸分析時，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越差

B.某地氣象局預(yù)報：6月9日本地降水概率為90％，結(jié)果這天沒下雨，這表明天氣預(yù)報并不科學(xué)

C.回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好

D.在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個單位時，預(yù)報變量多增加0.1個單位

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【題目】平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（s為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，，直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn).

（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，求的值.

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【題目】某社會機(jī)構(gòu)為了調(diào)查對手機(jī)游戲的興趣與年齡的關(guān)系，通過問卷調(diào)查，整理數(shù)據(jù)得如下列聯(lián)表：

40歲以下

40歲以上

合計(jì)

很興趣

30

15

45

無興趣

20

35

55

合計(jì)

50

50

100

（1）根據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為對手機(jī)游戲的興趣程度與年齡有關(guān)？

（2）若已經(jīng)從歲以下的被調(diào)查者中用分層抽樣的方式抽取了名，現(xiàn)從這名被調(diào)查者中隨機(jī)選取名，求這名被調(diào)查者中恰有名對手機(jī)游戲無興趣的概率.

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.84

6.635

10.828

（注：參考公式：，其中）

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【題目】我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.在“楊輝三角”中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的前55項(xiàng)和為( )

A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048

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（1）求曲線E的普通方程及極坐標(biāo)方程；

（2）求的值.

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