【題目】四棱錐中,點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在棱上,,底面是梯形,,且.
(1)求證:平面平面;
(2)若直線與所成角為60°,求二面角的余弦值.
【答案】(1)詳見解析(2)
【解析】
試題分析:(1)證明面面垂直平面平面,就是要證線面垂直平面,其實(shí)質(zhì)還是應(yīng)用線面垂直判定與性質(zhì)定理,經(jīng)多次轉(zhuǎn)化給予論證:先由射影定義得底面,因而有,再由,轉(zhuǎn)化為平面(2)利用空間向量求二面角,先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),由直線與所成角為60°,利用向量數(shù)量積確定各點(diǎn)坐標(biāo),最后根據(jù)方程組求各面法向量,利用向量數(shù)量積求兩法向量夾角,進(jìn)而由二面角與兩法向量關(guān)系確定二面角的余弦值.
試題解析:(1)∵平面平面,∴
∵平面,
∴平面,
又平面,∴平面平面.
(2)
以為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,∵平面,
∴軸,
則,設(shè),
∴,∴,
∵,∴,
∵與所成角為60°,
∴,
∴,∴,
∵,∴,∵,∴,∴
∴,設(shè)平面的法向量為,
由,得平面的一個(gè)法向量為
設(shè)平面的法向量為,
由,得平面的一個(gè)法向量為
∴,
∵二面角的平面角為鈍角,
∴二面角的余弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列中, .
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)若是數(shù)列的前項(xiàng)和,求滿足的所有正整數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出定義在上的兩個(gè)函數(shù),.
(1)若在處取最值.求的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)試確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線C的頂點(diǎn)在x軸上,兩頂點(diǎn)間的距離是8,離心率
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)P(3,0)且斜率為k的直線與雙曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),求k的值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),已知在處的切線相同.
(1)求的值及切線的方程;
(2)設(shè)函數(shù),若存在實(shí)數(shù)使得關(guān)于的不等式對(duì)上的任意實(shí)數(shù)恒成立,求的最小值及對(duì)應(yīng)的的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn),且與直線相切,橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),是其一個(gè)焦點(diǎn),又點(diǎn)在橢圓上.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過的動(dòng)直線交橢圓于點(diǎn),交軌跡于兩點(diǎn),設(shè)為的面積,為的面積,令的面積,令,試求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)與有相同極值點(diǎn).
(1)求函數(shù)的最大值;
(2)求實(shí)數(shù)的值;
(3)若,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】pH值是水溶液的重要理化參數(shù)。若溶液中氫離子的濃度為[H](單位:mol/l),則其pH值為-lg[H]。在標(biāo)準(zhǔn)溫度和氣壓下,若水溶液pH=7,則溶液為中性,pH<7時(shí)為酸性,pH>7時(shí)為堿性。例如,甲溶液中氫離子濃度為0.0001mol/l,其pH為-1g 0.0001,即pH=4。已知乙溶液的pH=2,則乙溶液中氫離子濃度為______mol/l。若乙溶液中氫離子濃度是丙溶液的兩千萬倍,則丙溶液的酸堿性為______(填中性、酸性或堿性)。
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