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【題目】已知橢圓的半焦距為，圓與橢圓有且僅有兩個公共點，直線與橢圓只有一個公共點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知動直線過橢圓的左焦點，且與橢圓分別交于兩點，試問：軸上是否存在定點，使得為定值?若存在，求出該定值和點的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）（2）在軸上存在點，使得為定值

【解析】

（1）根據已知求出即得橢圓的標準方程；（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設，利用韋達定理和向量的數量積求出，此時為定值；當直線的斜率不存在時，直線的方程為，求出此時點R也滿足前面的結論，即得解.

(1)依題意，得，

則，

故橢圓的標準方程為.

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

代人橢圓的方程，可得

設，，則，

設，則

若為定值，則，解得

此時

點的坐標為

②當直線的斜率不存在時，直線的方程為，代人，得

不妨設，若，則

綜上所述，在軸上存在點，使得為定值

練習冊系列答案
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