【題目】有如下3個命題;
①雙曲線上任意一點到兩條漸近線的距離乘積是定值;
②雙曲線的離心率分別是,則是定值;
③過拋物線的頂點任作兩條互相垂直的直線與拋物線的交點分別是,則直線過定點;其中正確的命題有( 。
A. 3個 B. 2個 C. 1個 D. 0個
【答案】A
【解析】
求得雙曲線的漸近線方程,設出P(m,n),運用點到直線的距離公式,化簡可得定值,即可判斷①;
運用雙曲線的離心率公式和基本量的關系,化簡可得定值,可判斷②;
可設A(s,),B(t,),求得直線AB的斜率和st=﹣4p2,運用點斜式方程可得直線AB的方程,化簡可得定點,即可判斷③.
①雙曲線(a>0,b>0)上任意一點P,設為(m,n),
兩條漸近線方程為y=±x,可得兩個距離的乘積為=,
由b2m2﹣a2n2=a2b2,可得兩個距離乘積是定值;
②雙曲線=1與(a>0,b>0)的離心率分別是e1,e2,
即有e12=,e22=,可得為定值1;
③過拋物線x2=2py(p>0)的頂點任作兩條互相垂直的直線與拋物線的交點分別是A,B,
可設A(s,),B(t,),由OA⊥OB可得st+=0,即有st=﹣4p2,
kAB==,可得直線AB的方程為y﹣=(x﹣s),即為y=x+2p,
則直線AB過定點(0,2p).
三個命題都正確.
故選:A.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.命題“x∈R,ex>0”的否定是“x∈R,ex>0”
B.命題“已知x,y∈R,若x+y≠3,則x≠2或y≠1”是真命題
C.“x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”“(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”
D.命題“若a=﹣1,則函數(shù)f(x)=ax2+2x﹣1只有一個零點”的逆命題為真命題
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【題目】下列函數(shù)中,在其定義域上既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞減的是( )
A.y=x2
B.y=x+1
C.y=﹣lg|x|
D.y=﹣2x
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【題目】已知命題方程有兩個不等的實根;命題方程無實根,若“”為真,“”為假,則實數(shù)的取值范圍為___________.(寫成區(qū)間的形式)
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【題目】如圖,已知平面,,是邊長為2的等邊三角形,為的中點,且;
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】動點在拋物線上,過點作垂直于軸,垂足為,設.
(Ⅰ)求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)若點是上的動點,過點作拋物線:的兩條切線,切點分別為,設點到直線的距離為,求的最小值。
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【題目】甲乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件,10天中,兩臺機床每天出的次品數(shù)分別如下圖所示。
甲 | 0 | 1 | 0 | 2 | 2 | 0 | 3 | 1 | 2 | 4 |
乙 | 2 | 3 | 1 | 1 | 0 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 |
從數(shù)據(jù)上看, ________________機床的性能較好(填“甲”或者“乙”).
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【題目】已知焦點在軸上的橢圓過點,且離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若直線(,)與橢圓C交于兩點A、B,點D滿足,經(jīng)過點D及點的直線的斜率為,求證:.
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