Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x2+（2a+1）x+a2+3a（a∈R）．

（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)，求a的取值范圍；

（Ⅱ）若f（x）在閉區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞增（其中m≠n），且{y|y=f（x），m≤x≤n}=[m，n]，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（-∞，]∪[-，+∞）（Ⅱ）[-，0）

【解析】

（Ⅰ）二次函數(shù)的對稱軸或可解得或；

（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為方程f（x）=x在[，+∞）上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，然后構(gòu)造函數(shù)G（x）=f（x）-x，利用二次函數(shù)的圖象列式可解得．

（Ⅰ）當(dāng)-≤0，即a≥-時，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，

當(dāng)-≥2，即a時，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減；

綜上所述：a的取值范圍是（-∞，]∪[-，+∞）

（Ⅱ）因為f（x）在[m，n]上遞增，則滿足

，

即方程f（x）=x在[-，+∞）上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

設(shè)F（x）=f（x）-x=x2+2ax+a2+3a，

則，則-，

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-，0）