Question

【題目】已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓:相交于不同的兩點(diǎn)，.

（1）求圓的圓心坐標(biāo)；

（2）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線:與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，

【解析】

（1）將圓的一般方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此得到圓心坐標(biāo)；

（2）當(dāng)直線斜率不存在，與圓無(wú)交點(diǎn)，可知斜率存在，設(shè)，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，由可確定的范圍，并得到韋達(dá)定理的形式，從而利用表示出中點(diǎn)坐標(biāo)，消去后即可得到軌跡方程；結(jié)合的范圍可確定的范圍，從而得到所求軌跡方程；

（3）由（2）可得的圖象，并確定直線所過(guò)的定點(diǎn)；由數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.

（1）圓:的方程整理得其標(biāo)準(zhǔn)方程：

圓的圓心坐標(biāo)為

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，與圓無(wú)交點(diǎn)，不合題意

直線斜率存在，設(shè)

由得：

則，解得：

設(shè)，，中點(diǎn)

則，

消去參數(shù)得中點(diǎn)軌跡方程為：

軌跡的方程為：

（3）由（2）知：曲線是圓上的一段劣弧（如圖，不包括兩個(gè)端點(diǎn)），且，

直線:過(guò)定點(diǎn)

直線:與圓相切時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)

又，

當(dāng)時(shí)，直線:與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)