Question

【題目】傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)：
將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}，可以推測(cè)：
（1）b5=；
（2）b2n﹣1= ．

Answer 1

【答案】
（1）105
（2）
【解析】解：（1）由題設(shè)條件可以歸納出an+1=an+（n+1），
故an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1= n（n+1）
由此知，三角數(shù)依次為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
由此知可被5整除的三角形數(shù)每五個(gè)數(shù)中出現(xiàn)兩個(gè)，即每五個(gè)數(shù)分為一組，則該組的后兩個(gè)數(shù)可被5整除，
∴b5=105；
2）由于2n﹣1是奇數(shù)，由（I）知，第2n﹣1個(gè)被5整除的數(shù)出現(xiàn)在第n組倒數(shù)第二個(gè)，
故它是數(shù)列{an}中的第n×5﹣1=5n﹣1項(xiàng)，
所以b2n﹣1═ （5n﹣1）（5n﹣1+1）= ．
故答案為：105； ．
（1）由題設(shè)條件及圖可得出an+1=an+（n+1），由此遞推式可以得出數(shù)列{an}的通項(xiàng)為，an= n（n+1），由此可列舉出三角形數(shù)1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，從而可歸納出可被5整除的三角形數(shù)每五個(gè)數(shù)中出現(xiàn)兩個(gè)，即每五個(gè)數(shù)分為一組，則該組的后兩個(gè)數(shù)可被5整除，由此規(guī)律即可求出b5；（2）由（1）中的結(jié)論即可得出b2n﹣1═ （5n﹣1）（5n﹣1+1）．