【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形， 平面， 分別是線段， 的中點， .

求證： 平面；

求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】（1）取中點，連接，易得四邊形為平行四邊形，從而

所以∥平面；（2）平面，且四邊形是正方形， 兩兩垂直，以為原點， ， ， 所在直線為軸，建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，代入公式得到所成銳二面角的余弦值.

解： 方法一：

取中點，連接，

分別是中點, ，

為中點， 為正方形， ，

,四邊形為平行四邊形，

平面， 平面，

平面.

方法二：

取中點，連接， .

是中點， 是中點， ，

又是中點， 是中點， ，

， ，

又， 平面， 平面， 平面， 平面， 平面平面.

又平面， 平面.

方法三：

取中點，連接， ，

在正方形中， 是中點， 是中點

又是中點， 是中點， ，

又，

，

，

平面//平面.

平面

平面.

方法四：

平面,且四邊形是正方形， 兩兩垂直，以為原點， ， ， 所在直線為軸，建立空間直角坐標系，

則

，

則設(shè)平面法向量為，

則, 即, 取，

，

所以 ，又平面， ∥平面.

平面,且四邊形是正方形， 兩兩垂直，以為原點， ， ， 所在直線為軸，建立空間直角坐標系，

則

設(shè)平面法向量為，

，

則, 即，

取,

則設(shè)平面法向量為，

則, 即, 取，

.

平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

（若第一問用方法四，則第二問部分步驟可省略）

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)．

（1）若關(guān)于的方程的解集中恰有一個元素，求的值；

（2）設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：

甲：82，81，79，78，95，88，93，84；乙：92，95，80，75，83，80，90，85

（1） 用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)，并計算平均數(shù)與方差；

（2）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度（在平均數(shù)、方差或標準差中兩個）考慮，你認為選派哪位學(xué)生參加合適？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，且函數(shù)是偶函數(shù).

（1）求的解析式；.

（2）若不等式在上恒成立，求n的取值范圍；

（3）若函數(shù)恰好有三個零點，求k的值及該函數(shù)的零點.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，且函數(shù)是偶函數(shù).

（1）求的解析式；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)恰好有三個零點，求的值及該函數(shù)的零點.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知點E是正方形ABCD邊AD的中點，現(xiàn)將△ABE沿BE所在直線翻折成到△A'BE，使A’C=BC，并連接A'C，A'D．

（1）求證：DE∥平面A'BC；

（2）求證：A'E⊥平面A'BC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在邊長為的菱形中，.點，分別在邊，上，點與點，不重合，，.沿將翻折到的位置，使平面平面.

（1）求證：平面；

（2）當與平面所成的角為時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱柱的底面為菱形，且.

（1）證明：四邊形為矩形；

（2）若，與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四邊形中，，，.將四邊形沿對角線折成四面體，使平面平面，則下列結(jié)論中正確的結(jié)論個數(shù)是（ ）

①；②；

③與平面所成的角為；

④四面體的體積為.

A.個B.個C.個D.個

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