Question

【題目】設(shè)為正整數(shù)，各項均為正整數(shù)的數(shù)列定義如下： ，

（1）若，寫出，，；

（2）求證：數(shù)列單調(diào)遞增的充要條件是為偶數(shù)；

（3）若為奇數(shù)，是否存在滿足？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）證明見解析；（3）存在，理由見解析．

【解析】

（1）時，結(jié)合條件，注意求得，，；

（2）根據(jù)與零的關(guān)系，判斷數(shù)列單調(diào)遞增的充要條件；

（3）存在滿足.

（1），，．

（2）先證“充分性”．

當為偶數(shù)時，若為奇數(shù)，則為奇數(shù)．

因為為奇數(shù)，所以歸納可得，對，均為奇數(shù)，則，

所以，

所以數(shù)列單調(diào)遞增．

再證“必要性”．

假設(shè)存在使得為偶數(shù)，則，與數(shù)列單調(diào)遞增矛盾，

因此數(shù)列中的所有項都是奇數(shù)．

此時，即，所以為偶數(shù)．

（3）存在滿足，理由如下：

因為，為奇數(shù)，所以且為偶數(shù)，．

假設(shè)為奇數(shù)時， ；為偶數(shù)時，．

當為奇數(shù)時，，且為偶數(shù)；

當為偶數(shù)時，．

所以若為奇數(shù)，則；若為偶數(shù)，則．

因此對都有．

所以正整數(shù)數(shù)列中的項的不同取值只有有限個，所以其中必有相等的項．

設(shè)集合，設(shè)集合．

因為，所以．

令是中的最小元素，下面證．

設(shè)且．

當時，，，所以；

當時，，，所以．

所以若，則且，與是中的最小元素矛盾．

所以，且存在滿足，即存在滿足．