【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=aexlnx+ ,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處得切線方程為y=e(x﹣1)+2.
(1)求a、b;
(2)證明:f(x)>1.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),

f′(x)= + ,

由題意可得f(1)=2,f′(1)=e,

故a=1,b=2;


(2)證明:由(1)知,f(x)=exlnx+ ,

∵f(x)>1,∴exlnx+ >1,∴l(xiāng)nx> ,

∴f(x)>1等價(jià)于xlnx>xex ,設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,則g′(x)=1+lnx,

∴當(dāng)x∈(0, )時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x∈( ,+∞)時(shí),g′(x)>0.

故g(x)在(0, )上單調(diào)遞減,在( ,+∞)上單調(diào)遞增,從而g(x)在(0,+∞)上的最小值為g( )=﹣

設(shè)函數(shù)h(x)=xex ,則h′(x)=ex(1﹣x).

∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)<0,

故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,

從而h(x)在(0,+∞)上的最大值為h(1)=﹣

綜上,當(dāng)x>0時(shí),g(x)>h(x),即f(x)>1


【解析】(1)求出定義域,導(dǎo)數(shù)f′(x),根據(jù)題意有f(1)=2,f′(1)=e,解出即可;(2)由(1)知,f(x)>1等價(jià)于xlnx>xex ,設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,函數(shù)h(x)= ,只需證明g(x)min>h(x)max , 利用導(dǎo)數(shù)可分別求得g(x)min , h(x)max

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【題目】甲、乙、丙3人投籃,投進(jìn)的概率分別是.

(Ⅰ)現(xiàn)3人各投籃1,3人都沒(méi)有投進(jìn)的概率;

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(1)現(xiàn)人各投籃次,求人至少一人投進(jìn)的概率;

(2)用表示乙投籃次的進(jìn)球數(shù),求隨機(jī)變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望和方差.

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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中λ為常數(shù).
(1)證明:an+2﹣an
(2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由.

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【題目】某地區(qū)100位居民的人均月用水量(單位:)的分組及各組的頻數(shù)如下:

,4; ,8; ,15;

,22; ,25; ,14;

,6; ,4; ,2.

(1)列出樣本的頻率分布表;

(2)畫(huà)出頻率分布直方圖,并根據(jù)直方圖估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);

(3)當(dāng)?shù)卣贫巳司掠盟繛?/span>的標(biāo)準(zhǔn),若超出標(biāo)準(zhǔn)加倍收費(fèi),當(dāng)?shù)卣f(shuō),以上的居民不超過(guò)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn),這個(gè)解釋對(duì)嗎?為什么?

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓 的離心率是,且直線 被橢圓截得的弦長(zhǎng)為

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)若直線與圓 相切:

(i)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(ii)若直線過(guò)定點(diǎn),與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,與圓交于不同的兩點(diǎn)、,求的取值范圍.

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【題目】隨機(jī)觀測(cè)生產(chǎn)某種零件的某工作廠25名工人的日加工零件個(gè)數(shù)(單位:件),獲得數(shù)據(jù)如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下:

分組

頻數(shù)

頻率

[25,30]

3

0.12

(30,35]

5

0.20

(35,40]

8

0.32

(40,45]

n1

f1

(45,50]

n2

f2


(1)確定樣本頻率分布表中n1 , n2 , f1和f2的值;
(2)根據(jù)上述頻率分布表,畫(huà)出樣本頻率分布直方圖;
(3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖,求在該廠任取4人,至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35]的概率.

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B.S2=S1且S2≠S3
C.S3=S1且S3≠S2
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