【題目】在直角坐標系中,點到兩點的距離之和為4,設(shè)點的軌跡為,直線與交于兩點。
(Ⅰ)寫出的方程;
(Ⅱ)若,求的值。
【答案】(Ⅰ)設(shè)P(x,y),由橢圓定義可知,點P的軌跡C是以為焦點,長半軸為2的橢圓.它的短半軸,故曲線C的方程為.
(Ⅱ)設(shè),其坐標滿足
消去y并整理得,故.
若,即.而,
于是,化簡得,所以.
【解析】
試題(1)根據(jù)橢圓的定義,可判斷點的軌跡為橢圓,再根據(jù)橢圓的基本量,容易寫出橢圓的方程,求曲線的方程一般可設(shè)動點坐標為,然后去探求動點坐標滿足的方程,但如果根據(jù)特殊曲線的定義,先行判斷出曲線的形狀(如橢圓,圓,拋物線等),則可直接寫出其方程;(2)一般地,涉及直線與二次曲線相交的問題,則可聯(lián)立方程組,或解出交點坐標,或設(shè)而不求,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)系求出參數(shù)的值(取值范圍),本題可設(shè),根據(jù),及滿足橢圓的方程,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系消去坐標即得.
試題解析:(1)設(shè),由橢圓定義可知,點的軌跡是以為焦點,
長半軸為2的橢圓, 2分
它的短半軸, 4分
故曲線的方程為. 6分
(2)證明:設(shè),其坐標滿足消去并整理,得
8分
故. 10分
即,而,
于是,
解得13分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題共13分)
已知, 或1, ,對于, 表示U和V中相對應(yīng)的元素不同的個數(shù).
(Ⅰ)令,存在m個,使得,寫出m的值;
(Ⅱ)令,若,求證: ;
(Ⅲ)令,若,求所有之和.
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【題目】已知直線: , : ,動點分別在直線, 上移動, , 是線段的中點.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)設(shè)不經(jīng)過坐標原點且斜率為的直線交軌跡于點,點滿足,若點在軌跡上,求四邊形的面積.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
以平面直角坐標系的原點為極點, 軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,兩種坐標系中取相同的長度單位,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程與圓的直角坐標方程;
(2)設(shè)曲線與直線交于兩點,若點的直角坐標為,求的值.
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【題目】省環(huán)保廳對、、三個城市同時進行了多天的空氣質(zhì)量監(jiān)測,測得三個城市空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)共有180個,三城市各自空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)個數(shù)如下表所示:
城 | 城 | 城 | |
優(yōu)(個) | 28 | ||
良(個) | 32 | 30 |
已知在這180個數(shù)據(jù)中隨機抽取一個,恰好抽到記錄城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的數(shù)據(jù)的概率為0.2.
(1)現(xiàn)按城市用分層抽樣的方法,從上述180個數(shù)據(jù)中抽取30個進行后續(xù)分析,求在城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)的個數(shù);
(2)已知, ,求在城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)的概率.
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【題目】(本題滿分14分)如圖,在四棱錐中, 平面,底面是菱形, , 為與的交點, 為上任意一點.
(1)證明:平面平面;
(2)若平面,并且二面角的大小為,求的值.
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【題目】我市在經(jīng)濟高速發(fā)展的同時,根據(jù)中央文明委辦公室2017年度頒布的《全國文明城市(地級以上)測評體系》標準,特制了創(chuàng)建全國文明城市三年行動計劃(2018-2020年).在城市環(huán)境衛(wèi)生的治理方面,經(jīng)過兩年的治理,市容市貌煥然一新,為了調(diào)查市民對城區(qū)環(huán)境衛(wèi)生的滿意程度,研究人員隨機抽取了1000名市民進行調(diào)查,并將滿意程度以分數(shù)的形式統(tǒng)計成如圖所示的頻率分布直方圖,其中.
(1)求被調(diào)查市民滿意程度的平均數(shù)與中位數(shù)(精確到小數(shù)點后三位);
(2)若按照分層抽樣的方式從中隨機抽取6人,再從這6人中隨機抽取2人,求至少有1人的分數(shù)在的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左焦點為,有一質(zhì)點A從處以速度v開始沿直線運動,經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射無論經(jīng)過幾次反射速率始終保持不變,若質(zhì)點第一次回到時,它所用的最長時間是最短時間的7倍,則橢圓的離心率e為
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某調(diào)查機構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調(diào)查統(tǒng)計,得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖,則下列結(jié)論正確的是( )
注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之間出生,80前指1979年及以前出生.
A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中從事技術(shù)和運營崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的三成以上
B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%
C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多
D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多
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