【題目】已知直線: , : ,動點(diǎn)分別在直線, 上移動, , 是線段的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為的直線交軌跡于點(diǎn),點(diǎn)滿足,若點(diǎn)在軌跡上,求四邊形的面積.
【答案】(I). (II)見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)條件設(shè), , ,即. 設(shè),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式消去參數(shù)m,n得 .
(2)設(shè)直線的方程為, , , .將代入,整理得 .則 , . 因?yàn)?/span>,可得R(, . 由在橢圓上,有,化簡得. 從而整理可得 . 可求得四邊形的面積.
試題解析:(1)根據(jù)條件可設(shè), ,由,得:
.
設(shè),則得
將①和②代入中并化簡得: .
所以點(diǎn)的軌跡的方程為.
(2)設(shè)直線的方程為, , , .
將代入,整理得 .
則 , .
.
因?yàn)?/span>,則有: , .
因?yàn)?/span>在橢圓上, ,
化簡得: .
所以, ,
因?yàn)?/span>
.
又點(diǎn)到的距離為.
由,可知四邊形為平行四邊形,
.
拓展: 此題結(jié)論可推廣到更一般情形:
第(Ⅰ))題中, 直線、只要不垂直,軌跡均為橢圓, 、垂直時,軌跡為圓;
第(Ⅱ)題中結(jié)論可推廣到更一般情形:
設(shè)不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓: 于點(diǎn)、,點(diǎn)滿足. 若點(diǎn)在橢圓上,則四邊形OPRQ(或)的面積為定值。
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),對任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).
(1)證明:當(dāng)x≥0時,f(x)≤(x+c)2;
(2)若對滿足題設(shè)條件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.
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【題目】設(shè)全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}.
(1)若a=-2,求B∩A,B∩(UA);(2)若A∪B=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】設(shè)f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x,aR.
(Ⅰ)令g(x)=f'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)已知f(x)在x=1處取得極大值.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《中國詩詞大會》(第二季)亮點(diǎn)頗多,十場比賽每場都有一首特別設(shè)計的開場詩詞,在聲光舞美的配合下,百人團(tuán)齊聲朗誦,別有韻味.若《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩詞排在后六場,且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后,則后六場的排法有( )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)中,相鄰兩個交點(diǎn)之間的距離為,且圖象過點(diǎn)
(1)求的解析式;
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)將函數(shù)的圖象向右平移個單位,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,若關(guān)于的方程,在區(qū)間上有且只有一個實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】紅隊隊員甲、乙、丙與藍(lán)隊隊員,,進(jìn)行圍棋比賽,甲對,乙對,丙對各一盤.已知甲勝、乙勝、丙勝的概率分別為0.6,0.5,0.5,假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則紅隊至少兩名隊員獲勝的概率是____________.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為4,設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn)。
(Ⅰ)寫出的方程;
(Ⅱ)若,求的值。
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【題目】已知圓經(jīng)過兩點(diǎn),且圓心在直線上.
(1)求圓的方程;
(2)已知過點(diǎn)的直線與圓相交截得的弦長為,求直線的方程;
(3)已知點(diǎn),在平面內(nèi)是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn),對于圓上的任意動點(diǎn),都有為定值?若存在求出定點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在說明理由.
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