Question

【題目】（本小題共13分）

已知， 或1， ，對(duì)于， 表示U和V中相對(duì)應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù)．

（Ⅰ）令，存在m個(gè)，使得，寫出m的值；

（Ⅱ）令，若，求證： ；

（Ⅲ）令，若，求所有之和．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ； ………3分

（Ⅱ）證明：令，

∵或1， 或1；

當(dāng)， 時(shí)，

當(dāng)， 時(shí)，

當(dāng)， 時(shí)，

當(dāng)， 時(shí)，

故

∴

………8分

（Ⅲ）解：易知中共有個(gè)元素，分別記為

∵的共有個(gè)， 的共有個(gè)．

∴

=

= ……13分

∴= ．

法二：根據(jù)（Ⅰ）知使的共有個(gè)

∴=

=

兩式相加得=

（若用其他方法解題，請(qǐng)酌情給分）

【解析】試題分析：本題是綜合考查集合推理綜合的應(yīng)用，這道題目的難點(diǎn)主要出現(xiàn)在讀題上，需要仔細(xì)分析，以找出解題的突破點(diǎn)，題目所給的條件其實(shí)包含兩個(gè)定義，第一個(gè)是關(guān)于的，其實(shí)中的元素就是一個(gè)n維的坐標(biāo)，其中每個(gè)坐標(biāo)都是0或者1，也可以這樣理解，就是一個(gè)n位數(shù)字的數(shù)組，每個(gè)數(shù)字都只能是0或1，第二個(gè)定義．第一問，根據(jù)，且及的意義：表示U和V中相應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù)，可知；第二問，根據(jù)或1， ，分類討論， 時(shí)， ；當(dāng)， 時(shí)， ；當(dāng)， 時(shí)， ；當(dāng)， 時(shí)， ；可證， ，再相加即可證明結(jié)論；第三問，結(jié)合第一問，得出使的共有個(gè)，分別計(jì)算出和，再相加即可．

試題解析：（Ⅰ） ；

（Ⅱ）證明：令，

∵或1， 或1；

當(dāng)， 時(shí)，

當(dāng)， 時(shí)，

當(dāng)， 時(shí)，

當(dāng)， 時(shí)，

故

∴

（Ⅲ）解：易知中共有個(gè)元素，分別記為

∵的共有個(gè)， 的共有個(gè)．

∴

=

=

∴= ．

法二：根據(jù)（Ⅰ）知使的共有個(gè)，

∴=

=

兩式相加得=