Question

【題目】已知數(shù)列， 滿足， ，且， .

（1）求及；

（2）猜想， 的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；

（3）證明：對(duì)所有的， .

Answer 1

【答案】（1）， ， ， ， ， ；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）依次把n=1，2，3代入遞推式即可求出{an}，{bn}的前4項(xiàng)；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想；
（3）利用放縮法證明不等式左邊，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式右邊．

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>， ，且，

令，得到解得， ；同理令分別解得由此可得， ，

， ；

（2）證明：猜測(cè)， ，

用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，由上可得結(jié)論成立.

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即， ，

那么當(dāng)時(shí)， ，

，所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.

由①②，可知， 對(duì)一切正整數(shù)都成立.

（3）由（2）知， ，

于是所證明的不等式即為

（�。┫茸C明：

因?yàn)?/span>，所以，從而，

即，所以

（ⅱ）再證明

設(shè)函數(shù)， ，則， .

因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)， ，

從而在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，

因此對(duì)于一切都成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，

所以

綜上所述，對(duì)所有的，均有成立.