【題目】將正整數(shù)1，2，…，10填于正五角星的十個頂點處，使得每條直線上所填四個數(shù)之和相等，問：這種填數(shù)方案是否存在?若存在，請給出填數(shù)方案的個數(shù)（經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ之后能重合的方案視為同一種方案）；若不存在，請說明理由．

【答案】見解析

【解析】

若存在滿足要求的填數(shù)方案，則每條直線上的四個數(shù)之和為．

如圖，令五角星外頂點所填數(shù)分別為，，…，，

對應(yīng)的內(nèi)頂點所填數(shù)分別為，，…，．

則（）此處下角標(biāo)取模5非負(fù)剩余．

若是一種填數(shù)方案，作互補(bǔ)變換，則也是一種不同的填數(shù)方案．

注意到，10必須與1、2均共線，9必須與1共線．

否則，10所在的兩條直線上的數(shù)之和，矛盾．

若1填在內(nèi)頂點處，不妨設(shè)，再由對稱性，不妨設(shè)．

由，，，

知，，且．

經(jīng)驗證，當(dāng)時，方案不存在．

若1填在外頂點處，不妨設(shè)．

若10填在內(nèi)頂點處，則作上述互補(bǔ)變換，便得到一個有1填在內(nèi)頂點處的方案．

于是，10也填在外頂點處．

又，于是或．

不妨假設(shè)，，經(jīng)驗證，此時的填數(shù)方案也不存在．

綜上，不存在滿足要求的填數(shù)方案．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】4支足球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽（任兩支球隊恰進(jìn)行一場比賽），任兩支球隊之間勝率都是．單循環(huán)比賽結(jié)束，以獲勝的場次數(shù)作為該隊的成績，成績按從大到小排名次順序，成績相同則名次相同．下列結(jié)論中正確的是（ ）

A.恰有四支球隊并列第一名為不可能事件B.有可能出現(xiàn)恰有三支球隊并列第一名

C.恰有兩支球隊并列第一名的概率為D.只有一支球隊名列第一名的概率為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在某校矩形的航天知識競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為1：3，且成績分布在范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在80以上（含80）的同學(xué)獲獎，按文理科用分層抽樣的放發(fā)抽取200人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖.

(Ⅰ)填寫下面的列聯(lián)表，能否有超過95%的把握認(rèn)為“獲獎與學(xué)生的文理科有關(guān)”；

(Ⅱ)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從參賽學(xué)生中，任意抽取3名學(xué)生，記“獲獎”學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附表及公式：，其中

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在上無零點，求最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)）.

（1）當(dāng)時，判斷在的單調(diào)性，并用定義證明；

（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）討論零點的個數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線y2=2px的焦點為F，準(zhǔn)線方程是x=﹣1．

（I）求此拋物線的方程；

（Ⅱ）設(shè)點M在此拋物線上，且|MF|=3，若O為坐標(biāo)原點，求△OFM的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年春節(jié)期間，某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎促銷活動，若顧客一次消費達(dá)到400元則可參加一次抽獎活動，超市設(shè)計了兩種抽獎方案.

方案一：一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.

方案二：一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎，且顧客有放回地抽取3次.

（1）現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機(jī)會，且都按方案一抽獎，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；

（2）若某顧客獲得抽獎機(jī)會.

①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望；

②為了吸引顧客消費，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎方案進(jìn)行促銷活動？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎，在評獎揭曉前，甲，乙，丙，丁四位同學(xué)對這四件參賽作品預(yù)測如下：

甲說：“是或作品獲得一等獎”； 乙說：“ 作品獲得一等獎”；

丙說：“ 兩件作品未獲得一等獎”； 丁說：“是作品獲得一等獎”．

評獎揭曉后，發(fā)現(xiàn)這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓的離心率為，其左焦點到點的距離為，不過原點O的直線與C交于A,B兩點，且線段AB被直線OP平分.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求k的值；

（3）求面積取最大值時直線l的方程.

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同步練習(xí)冊答案