【題目】在梯形中,,為的中點(diǎn),線段與交于點(diǎn)(如圖1).將沿折起到的位置,使得二面角為直二面角(如圖2).
(1)求證:平面;
(2)線段上是否存在點(diǎn),使得與平面所成角的正弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)線段上存在點(diǎn),且
【解析】
(1)推導(dǎo)出,從而四邊形為平行四邊形,推導(dǎo)出,由此能證明平面;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),利用向量法能求出線段上存在點(diǎn),且時,使得CQ與平面BCD′所成角的正弦值為.
(1)證明:因為在梯形中,,為的中點(diǎn),
所以,
所以四邊形為平行四邊形,
因為線段與交于點(diǎn),
所以為線段的中點(diǎn),
所以中,
因為平面,平面,
所以平面.
(2)解:平行四邊形中,,
所以四邊形是菱形,,垂足為,
所以,
因為平面,平面,
所以是二面角的平面角,
因為二面角為直二面角,
所以,即.
可以如圖建立空間直角坐標(biāo)系,其中,
因為在圖1菱形中,,
所以,
所以,
所以,,
設(shè)為平面的法向量,
因為,所以,即,
取,得到,
所以;
線段上存在點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為,
設(shè),
因為,
所以,
因為,
所以,
因為,所以,
所以線段上存在點(diǎn),且,使得與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的方程為.以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求直線及圓的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線與圓交于,兩點(diǎn),求的值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù),直線l:y=kx(k>0),以O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求曲線C的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求|OA||OB|的值.
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【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,,是拋物線上的兩個動點(diǎn),且,過,兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,設(shè)其交點(diǎn)為.
(1)若直線與,軸分別交于點(diǎn),,且的面積為,求的值;
(2)記的面積為,求的最小值,并指出最小時對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線相交于兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn),已知,求實數(shù)的值.
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【題目】已知點(diǎn)A,B,C,D是直角坐標(biāo)系中不同的四點(diǎn),若,,且,則下列說法正確的是( ),
A.C可能是線段AB的中點(diǎn)
B.D可能是線段AB的中點(diǎn)
C.C、D可能同時在線段AB上
D.C、D不可能同時在線段AB的延長線上
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【題目】已知兩個平面相互垂直,下列命題
①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線
②一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線
③一個平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個平面
④過一個平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個平面
其中正確命題個數(shù)是( )
A. B. C. 1D.
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【題目】東方商店欲購進(jìn)某種食品(保質(zhì)期一天),此商店每兩天購進(jìn)該食品一次(購進(jìn)時,該食品為剛生產(chǎn)的).根據(jù)市場調(diào)查,該食品每份進(jìn)價元,售價元,如果一天內(nèi)無法售出,則食品過期作廢,現(xiàn)統(tǒng)計該產(chǎn)品天的銷售量如下表:
(1)根據(jù)該產(chǎn)品天的銷售量統(tǒng)計表,求平均每天銷售多少份?
(2)視樣本頻率為概率,以一天內(nèi)該產(chǎn)品所獲得的利潤的平均值為決策依據(jù),東方商店一次性購進(jìn)或份,哪一種得到的利潤更大?
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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,且橢圓上存在一點(diǎn),滿足.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),求的內(nèi)切圓的半徑的最大值.
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