Question

【題目】如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，AA1⊥底面ABCD，E為B1D的中點．
（Ⅰ）證明：平面ACE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角D﹣AE﹣C為60°，AA1=AB=1，求三棱錐C﹣AED的體積．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接BD，設(shè)AC與BD的交點為F，連接EF， 因為E為B1D中點，F(xiàn)為BD中點，
所以EF∥BB1 ，
因為BB1⊥平面ABCD，
所以EF⊥平面ABCD，
又因為EF在平面ACE內(nèi)，
所以平面ACE⊥平面ABCD．（6分）
解：（Ⅱ）由于四邊形ABCD是菱形，所以以F為坐標原點，
分別以FC，F(xiàn)D，F(xiàn)E為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)FA=a，F(xiàn)D=b，有a2+b2=1，
A（﹣a，0，0），C（a，0，0），D（0，b，0）， ，
， ，
設(shè)平面ADE的法向量為 ，
平面ACE的法向量為 ，（8分）
由題意知 ，解得 ．（10分）
所以菱形ABCD為正方形，
所以三棱錐C﹣ADE的體積 ．（12分）

【解析】（Ⅰ）連接BD，設(shè)AC與BD的交點為F，連接EF，則EF∥BB1 ， 從而EF⊥平面ABCD，由此能證明平面ACE⊥平面ABCD．（Ⅱ）以F為坐標原點，以FC，F(xiàn)D，F(xiàn)E為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出三棱錐C﹣ADE的體積．
【考點精析】利用平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．