【題目】已知f(x)=a(x-lnx)+,a∈R.
(I)討論f(x)的單調(diào)性;
(II)當(dāng)a=1時(shí),證明f(x)>f’(x)+對(duì)于任意的x∈[1,2] 恒成立。
【答案】(I)見(jiàn)解析;(II)見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),然后對(duì)a分類分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定原函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)令g(x)=x-lnx,h(x)=-1則f(x)-f′(x)=g(x)+h(x),利用導(dǎo)數(shù)分別求g(x)與h(x)的最小值得到f(x)-f’(x)>g(1)+h(2)=.
試題解析:
(I)解:函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+00),f’(x)=a-
F’(x)=
若a≤0時(shí),x∈(0,1)時(shí),f’(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增
x∈(1,+00)時(shí),f’(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減。
當(dāng)a>0時(shí),f’(x)=()(x-)
若0<a<2時(shí),>1,
當(dāng)x∈(0,1)或x∈(,+00)時(shí),f’(x)>0,f(x)單調(diào)遞增
當(dāng)x∈(1,)時(shí),f’(x)<0,f(x)單調(diào)遞減。
若a=2時(shí),=1,早x∈(0,+00)內(nèi),f’(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增;
若a>2時(shí),0<<1,
當(dāng)x∈(0,)或x∈(1,+00)時(shí),f’(x)>0,f(x)單調(diào)遞增
當(dāng)x∈(,1)時(shí),f‘(x)<0,f(x)單調(diào)遞減。
綜上所述;當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,f(x)在(1,+00)單調(diào)遞減。
當(dāng)0<a<2時(shí),f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;f(x)在(1,)單調(diào)遞減
當(dāng)a=2時(shí),f(x)在(0,+00)單調(diào)遞增;
若a>2時(shí),f(x)在(0,),(1,+00)單調(diào)遞增;
f(x)在(,1)單調(diào)遞減
(II)由(I)知,a=1時(shí),f(x)-f’(x)=x-lnx+-(1-)
=x-lnx+-1,x∈[1,2]
令g(x)=x-lnx,h(x)=-1,x∈[1,2],則f(x)-f’(x)=g(x)+h(x),
由g’(x)=≥0,可得g(x)≥g(1)=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得等號(hào),
又h’(x)=,設(shè)(x)=-3x2-2x+6,則(x)在x∈[1,2]單調(diào)遞減,
因?yàn)?/span>(1)=1,(2)=-10,所以在[1,2]上存在x0,
使得x∈(1,x0)時(shí),(x)>0,x∈(x0,2)時(shí),(x)<0.
所以h(x)在(1,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,2)上單調(diào)遞減;
由于h(1)=1,h(2)=,因此h(x)≥h(2)=,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取得等號(hào)
所以f(x)-f’(x)>g(1)+h(2)=,
即f(x)>f’(x)+對(duì)于任意的x∈[1,2]恒成立。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)= ln(1﹣x)的定義域是( )
A.(﹣1,1)
B.[﹣1,1)
C.[﹣1,1]
D.(﹣1,1]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:PF⊥FD;
(Ⅱ)判斷并說(shuō)明PA上是否存在點(diǎn)G,使得EG∥平面PFD;
(Ⅲ)若PB與平面ABCD所成的角為45°,求二面角A﹣PD﹣F的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,又f(1)=﹣2.
(1)判斷f(x)的奇偶性及單調(diào)性并證明你的結(jié)論;
(2)若對(duì)任意x∈R,不等式f(ax2)﹣2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f( ),n∈N* .
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn= (n≥2),b1=3,Sn=b1+b2++bn , 若Sn< 對(duì)一切n∈N*成立,求最小正整數(shù)m.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】袋子里有完全相同的3只紅球和4只黑球,今從袋子里隨機(jī)取球.
(Ⅰ)若有放回地取3次,每次取一個(gè)球,求取出2個(gè)紅球1個(gè)黑球的概率;
(Ⅱ)若無(wú)放回地取3次,每次取一個(gè)球,若取出每只紅球得2分,取出每只黑球得1分,求得分的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點(diǎn)的極坐標(biāo)方程為.
(1)求點(diǎn)的直角坐標(biāo),并求曲線的普通方程;
(2)設(shè)直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在R上的偶函數(shù)f(x),滿足f(x+1)=f(x﹣1),且f(x)在[﹣3,﹣2]上是增函數(shù),又α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,則( )
A.f(sinα)>f(cosβ)
B.f(cosα)<f(cosβ)
C.f(sinα)<f(cosβ)
D.f(sinα)<f(sinβ)
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