【題目】設(shè)為實常數(shù),函數(shù).
(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),不等式的解集為,不等式的解集為,當(dāng)時,是否存在正整數(shù),使得或成立.若存在,試找出所有的m;若不存在,請說明理由.
【答案】(1) 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)存在,
【解析】
(1)當(dāng)時得,求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)在上單調(diào)遞增,且,從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)令,,利用導(dǎo)數(shù)和零點存在定理知存在,使得,再對分和兩種情況進行討論.
解:(1),,
∵在上單調(diào)遞增,且,
∴在上負,在上正,
故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(2)設(shè),
,,單調(diào)遞增.
又,(也可依據(jù)),
∴存在使得,
故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
又∵對于任意存在使得,
又,且有,
由零點存在定理知存在,使得,
故.
,
令,
由知在上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)時,
又∵,和均在各自極值點左側(cè),
結(jié)合單調(diào)性可知,
當(dāng)時,,
成立,故符合題意.
當(dāng)時,,
令,則,
∴當(dāng)時,.
在上式中令,可得當(dāng)時,有成立,
令,則,
,恒成立.
故有成立,
知當(dāng)時,
又∵,在上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)時,,,
而,∴此時和均不成立.綜上可得存在符合題意.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè),證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于無窮數(shù)列,“若存在,必有”,則稱數(shù)列具有性質(zhì).
(1)若數(shù)列滿足,判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)?是否具有性質(zhì)?
(2)對于無窮數(shù)列,設(shè),求證:若數(shù)列具有性質(zhì),則必為有限集;
(3)已知是各項均為正整數(shù)的數(shù)列,且既具有性質(zhì),又具有性質(zhì),是否存在正整數(shù),,使得,,,…,,…成等差數(shù)列.若存在,請加以證明;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點在橢圓上,過點作軸于點
(1)求線段的中點的軌跡的方程
(2)設(shè)、兩點在(1)中軌跡上,點,兩直線與的斜率之積為,且(1)中軌跡上存在點滿足,當(dāng)面積最小時,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三梭柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,E,F分別為AB,A1B1的中點.
(1)求證:AF∥平面B1CE;
(2)若A1B1⊥,求證:平面B1CE⊥平面ABC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線(),其準線方程,直線過點(),且與拋物線交于、兩點,為坐標原點.
(1)求拋物線方程,并注明:的值與直線傾斜角的大小無關(guān);
(2)若為拋物線上的動點,記的最小值為函數(shù),求的解析式.
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