Question

已知函數(shù)
（1）判定并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）試證明在定義域內(nèi)恒成立；
（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求m的取值范圍.

Answer 1

（1）偶函數(shù)，（2）詳見(jiàn)解析，（3）.

解析試題分析：（1）判定函數(shù)的奇偶性，首先判定定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，定義域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b9/e/1t8kq2.png" style="vertical-align:middle;" />關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其次研究與的相等或相反的關(guān)系：所以為偶函數(shù)，（2）由于函數(shù)為偶函數(shù)，所以只需證明時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，恒成立，當(dāng)時(shí)，所以，由（1）可知：，綜上所述，在定義域內(nèi)恒成立（3）恒成立問(wèn)題一般利用變量分離法轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題. 恒成立對(duì)恒成立，∴ ，∴ ，令可證在[1,3]上為減函數(shù)  ∴對(duì)恒成立　∴ ，所以m的取值范圍是.
試題解析：解：（1）為偶函數(shù)，證明如下：
定義域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b9/e/1t8kq2.png" style="vertical-align:middle;" />關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
對(duì)于任意有：        2分

成立
所以為偶函數(shù)         5分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c9/e/py8so1.png" style="vertical-align:middle;" />定義域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b9/e/1t8kq2.png" style="vertical-align:middle;" />，
當(dāng)時(shí)，
，，恒成立，      7分
當(dāng)時(shí)，所以，由（1）可知：     9分
綜上所述，在定義域內(nèi)恒成立      10分
（3）恒成立對(duì)恒成立，
∴ ，∴ ，令
證明在[1,3]上為減函數(shù)（略）（不證明單調(diào)性扣2分）
∴對(duì)恒成立　        12分
∴                           
所以m的取值范圍是                 14分
考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性，函數(shù)單調(diào)性