在平面直角坐標(biāo)系中，已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓與拋物線有一個公共的焦點，且過點.

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點是橢圓在第一象限上的任一點,連接,過點作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個公共點,設(shè)直線的斜率分別為,,試證明為定值,并求出這個定值；
（III）在第(Ⅱ)問的條件下，作，設(shè)交于點，
證明:當(dāng)點在橢圓上移動時，點在某定直線上.

（Ⅰ）橢圓的方程為；(Ⅱ)3；（III）點在直線上.

解析試題分析：（Ⅰ）由拋物線的焦點求出橢圓的焦點，又橢圓過點，得：，
且，，解方程組可得橢圓的方程：
(Ⅱ)設(shè)出切點的坐標(biāo)和切線的方程，利用直線和橢圓相切的條件，證明為定值.
（III）利用(Ⅱ)的結(jié)果,由,寫出直線的方程,可解出交于點
的坐標(biāo),進(jìn)而證明當(dāng)點在橢圓上移動時，點在某定直線上.

試題解析：(Ⅰ)由題意得 ，
又，         2分
消去可得，，解得或（舍去），則，
求橢圓的方程為．        4分
(Ⅱ)設(shè)直線方程為，并設(shè)點，
由.
，         6分
，當(dāng)時，直線與橢圓相交，所以，，
由得，，       8分
，整理得：.而,代入中得
為定值.        10分
（用導(dǎo)數(shù)求解也可，若直接用切線公式扣4分，只得2分）
（III）的斜率為：，又由,
從而得直線的方程為：,聯(lián)立方程,
消去得方程，因為， 所以 ，
即點在直線上.         14分
考點：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；3、直線與橢圓的位置關(guān)系；

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點、，動點滿足：，且
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）已知圓W： 的切線與軌跡相交于P，Q兩點，求證：以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓： 的離心率為 ，點 為其下焦點，點為坐標(biāo)原點，過 的直線 ：（其中）與橢圓 相交于兩點，且滿足：.

（1）試用  表示 ；
（2）求  的最大值；
（3）若 ，求  的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知曲線：.
（1）若曲線是焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍；
（2）設(shè)，過點的直線與曲線交于,兩點，為坐標(biāo)原點，若為直角三角形，求直線的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的右頂點為A（2，0），點P（2e，）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．

（1）求橢圓的方程；
（2）若點B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿足，且，求實數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓上的點到其兩焦點距離之和為，且過點．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）為坐標(biāo)原點，斜率為的直線過橢圓的右焦點，且與橢圓交于點，，若，求△的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點在拋物線：上.
（1）若的三個頂點都在拋物線上，記三邊，，所在直線的斜率分別為，，，求的值；
（2）若四邊形的四個頂點都在拋物線上，記四邊，，，所在直線的斜率分別為，，，，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓（）的右焦點為，離心率為.
（Ⅰ）若，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，分別為線段的中點. 若坐標(biāo)原點在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：.

(1)橢圓的短軸端點分別為(如圖)，直線分別與橢圓交于兩點，其中點滿足，且.
①證明直線與軸交點的位置與無關(guān)；
②若∆面積是∆面積的5倍，求的值；
(2)若圓:.是過點的兩條互相垂直的直線,其中交圓于、兩點,交橢圓于另一點.求面積取最大值時直線的方程.

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