【題目】設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，滿足，且，公比大于1的等比數(shù)列滿足， .

（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項公式；

（2）若，求數(shù)列的前n項和；

（3）在（2）的條件下，若對一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析， ；(2) ；(3) .

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合函數(shù)的遞推公式可證得數(shù)列是首先為1，公差為2的等差數(shù)列，其通項公式為；

(2)錯位相減可得數(shù)列的前n項和為；

(3)由題意可得數(shù)列單調(diào)遞減，據(jù)此得到關(guān)于實數(shù)t的不等式，求解不等式可得實數(shù)t的取值范圍是.

試題解析：

(1) 當時，，，

，所以，.

因為當時，是公差的等差數(shù)列，

，，

則是首項，公差的等差數(shù)列，

所以數(shù)列的通項公式為.

(2)由題意得， ；

則前n項和；

；

相減可得

；

化簡可得前n項和；

（3）對一切正整數(shù)n恒成立，

由，

可得數(shù)列單調(diào)遞減,即有最大值為，

則 解得或 .

即實數(shù)t的取值范圍為.

練習冊系列答案
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【題目】某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5），[0.5,1），[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（I）求直方圖中的a值；

（II）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由。

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注：為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；

（2）求證：當時，.

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（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若， 恒成立，求的取值范圍.

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（Ⅰ）請你估計甲乙兩個班中，哪個班的問卷得分更穩(wěn)定一些；

（Ⅱ）如果把乙班5名學生的得分看成一個總體，并用簡單隨機抽樣方法從中抽取樣本容量為2的樣本，求樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不小于1的概率．

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（2）求證： 平面.

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（Ⅱ）若記直線，的斜率分別為，，試求的值.

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