Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x﹣2y﹣2=0．
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）+ ＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）證明：當(dāng)n∈N* ， 且n≥2時(shí)， + +…+ ＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）= +b．

∵直線x﹣2y﹣2=0的斜率為0.5，且過點(diǎn)（1，﹣0.5），

∴f（1）=﹣0.5，f′（1）=0.5

解得a=1，b=﹣0.5

（2）解：由（1）得f（x）=lnx﹣0.5x．

當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）+ ＜0恒成立，等價(jià)于k＜0.5x2﹣xlnx．

令g（x）=0.5x2﹣xlnx，則g′（x）=x﹣1﹣lnx．

令h（x）=x﹣1﹣lnx，則h′（x）= ．

當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

故h（x）＞h（1）=0

從而，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

故g（x）＞g（1）=0.5

∴k≤0.5

（3）證明：由（2）得，當(dāng)x＞1時(shí)，lnx﹣0.5x+ ＜0，可化為xlnx＜ ，

又xlnx＞0，

從而， ＞ = ﹣ ．

把x=2，…n分別代入上面不等式，并相加得，

+ +…+ ＞1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1+ ﹣ ﹣ =

【解析】（1）利用函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的導(dǎo)數(shù)值即曲線的斜率及點(diǎn)在曲線上求得a，b的值；（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）+ ＜0恒成立，等價(jià)于k＜0.5x2﹣xlnx，構(gòu)造函數(shù)，求最值，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）證明 ＞ = ﹣ ，把x=1，2，…n分別代入上面不等式，并相加得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．