Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：，拋物線： （）．

（1）若直線過拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線的方程；

（2）已知拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)和．

①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為；

②求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）①見證明；②

【解析】

（1）求出拋物線C：y2＝2px （p＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線l：x﹣y﹣4＝0，求得p值，則拋物線C的方程可求；

（2）設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2），線段PQ的中點(diǎn)M（x0，y0）．由點(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對(duì)稱，可設(shè)PQ的方程為y＝﹣x+b．

①聯(lián)立直線方程與拋物線方程，由判別式大于0可得p+2b＞0，分別求出P、Q的縱坐標(biāo)，可得M的縱坐標(biāo)．結(jié)合M（x0，y0）在直線l上，可得x0＝4﹣p，由此得到線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4﹣p，﹣p）；

②把M（4﹣p，﹣p）代入直線y＝﹣x+b上，得到b＝4﹣2p．結(jié)合p+2b＞0即可求得p的取值范圍．

（1）拋物線： （）的焦點(diǎn)為，

由點(diǎn)在直線：上得，即，

所以拋物線的方程為

（2）設(shè)、，線段的中點(diǎn)．

因?yàn)辄c(diǎn)和關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線垂直平分線段，

于是的方程可設(shè)為．

①由得（﹡），

因?yàn)?/span>和是拋物線上相異兩點(diǎn)，所以，

從而，化簡(jiǎn)得，方程（﹡）的兩根為

，從而．

因?yàn)?/span>在直線上，所以，

因此，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為

②因?yàn)?/span>在直線上，

所以，即．

由①知，于是，所以，

即的取值范圍為.