【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知圓x2+y2﹣12x+32=0的圓心為Q,過點P(0,2)且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點A,B.
(1)求k的取值范圍;
(2)是否存在常數(shù)k,使得向量 共線?如果存在,求k值;如果不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:圓的方程可寫成(x﹣6)2+y2=4,所以圓心為Q(6,0),過P(0,2)

且斜率為k的直線方程為y=kx+2.

代入圓方程得x2+(kx+2)2﹣12x+32=0,

整理得(1+k2)x2+4(k﹣3)x+36=0. ①

直線與圓交于兩個不同的點A,B等價于△=[4(k﹣3)2]﹣4×36(1+k2)=42(﹣8k2﹣6k)>0,

解得 ,即k的取值范圍為


(2)解:設A(x1,y1),B(x2,y2),則

由方程①,

又y1+y2=k(x1+x2)+4. ③

所以 共線等價于(x1+x2)=﹣3(y1+y2),

將②③代入上式,解得

由(1)知 ,故沒有符合題意的常數(shù)k


【解析】(1)先把圓的方程整理成標準方程,進而求得圓心,設出直線方程代入圓方程整理后,根據(jù)判別式大于0求得k 的范圍,(2)A(x1 , y1),B(x2 , y2),根據(jù)(1)中的方程和韋達定理可求得x1+x2的表達式,根據(jù)直線方程可求得y1+y2的表達式,進而根據(jù)以 共線可推知(x1+x2)=﹣3(y1+y2),進而求得k,根據(jù)(1)k的范圍可知,k不符合題意.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解向量的共線定理的相關知識,掌握設,,其中,則當且僅當時,向量共線.

練習冊系列答案
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【題目】海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100 個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如圖:

(Ⅰ)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”,估計A的概率;
(Ⅱ)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關:

箱產(chǎn)量<50kg

箱產(chǎn)量≥50kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(Ⅲ)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01).
附:

P(K2≥k)

0.050

0.010

0.001

K

3.841

6.635

10.828

K2=

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(1)若函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù),求a的值;
(2)若a= ,求函數(shù)y=f(x)的單調遞增區(qū)間;
(3)當a>0時,若對任意的x∈(0,+∞),不等式f(x﹣1)≤2f(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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