【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2|x﹣a|.
(1)若函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù),求a的值;
(2)若a= ,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)當a>0時,若對任意的x∈(0,+∞),不等式f(x﹣1)≤2f(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:任取∈R,則有f(﹣x)=f(x)恒成立,即x2﹣2|﹣x﹣a|=x2﹣2|x﹣a|恒成立,
∴|x+a|=|x﹣a|恒成立,∴平方得2ax=﹣2ax恒成立,∴a=0
(2)解:當a= 時,f(x)=x2﹣2|x﹣a|= ,
由函數(shù)的圖象可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣1, ]、[1,+∞)
(3)解:不等式式f(x﹣1)≤2f(x)化為(x﹣1)2﹣2|x﹣1﹣a|≤2x2﹣4|x﹣a|,
即:4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1 (※),
對任意的x∈(0,+∞)恒成立,因為a>0,所以分如下情況討論:
①0≤x≤a時,不等式(※)化為﹣4(x﹣a)+2[x﹣(1+a)]≤x2+2x﹣1恒成立,
即x2+4x+1﹣2a≥0對x∈[0,a]恒成立,
∵g(x)=x2+4x+1﹣2a在[0,a]上單調(diào)遞增,
只需g(x)的最小值g(0)=1﹣2a≥0,∴0<a≤ .
②當a<x≤a+1時,不等式(※)化為 4(x﹣a)+2[x﹣(1+a)]≤x2+2x﹣1恒成立,
即 x2﹣4x+1+16a≥0對x∈(a,1+a]恒成立恒成立,
由①知0<a< ,∴h(x)=x2﹣4x+1+16a在∈(a,1+a]上單調(diào)遞減,
∴只需h(x)的最小值h(1+a)=a2+4a﹣2≥0,∴a≤﹣2﹣ 或a≥ ﹣2,
∵ ﹣2< ,∴ ﹣2≤a≤ .
③當x>a+1時,不等式(※)化為 4(x﹣a)﹣2[x﹣(1+a)]≤x2+2x﹣1恒成立,
即 x2+2a﹣3≥0 對x∈(a+1,+∞)恒成立.
由于m(x)=x2+2a﹣3≥0,且m(x)在[a+1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴只需m(x)的最小值m(1+a)=a2+4a﹣2≥0,∴a≤﹣2﹣ 或a≥ ﹣2,
由②得: ﹣2≤a≤ .
綜上所述,a的取值范圍是: ﹣2≤a≤
【解析】(1)根據(jù)f(﹣x)=f(x)恒成立,求得a的值.(2)當a= 時,f(x)=x2﹣2|x﹣a|= ,結(jié)合它的圖象得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.(3)不等式即4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1 (※),分類討論,去掉絕對值,求得它的解集.
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)奇偶性的性質(zhì),掌握在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù);偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知圓x2+y2﹣12x+32=0的圓心為Q,過點P(0,2)且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點A,B.
(1)求k的取值范圍;
(2)是否存在常數(shù)k,使得向量 與 共線?如果存在,求k值;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2015年7月9日21時15分,臺風(fēng)“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸,造成165.17萬人受災(zāi),5.6萬人緊急轉(zhuǎn)移安置,288間房屋倒塌,46.5千公頃農(nóng)田受災(zāi),直接經(jīng)濟損失12.99億元,距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺風(fēng)的影響,適逢暑假,小明調(diào)查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺風(fēng)造成的經(jīng)濟損失,將收集的數(shù)據(jù)分成[0,2000],(2000,4000],(4000,6000],(6000,8000],(8000,10000]五組,并作出如圖頻率分布直方圖:
附:臨界值參考公式: ,n=a+b+c+d.
(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計小區(qū)平均每戶居民的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)小明向班級同學(xué)發(fā)出倡議,為該小區(qū)居民損款,現(xiàn)從損失超過4000元的居民中隨機抽出2戶進行捐款援助,投抽出損失超過8000元的居民為ξ戶,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)臺風(fēng)后區(qū)委會號召該小區(qū)居民為臺風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如表,在表格空白外填寫正確數(shù)字,并說明是否有95%以上的把握認為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關(guān)?
經(jīng)濟損失不超過4000元 | 經(jīng)濟損失超過4000元 | 合計 | |
捐款超過500元 | 30 | ||
損款不超過500元 | 6 | ||
合計 |
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】(1)已知點A(-1,-2),B(1,3),P為x軸上的一點,求|PA|+|PB|的最小值;
(2)已知點A(2,2),B(3,4),P為x軸上一點,求||PB|-|PA||的最大值.
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【題目】已知數(shù)列{an}的首項a1=2,且an=2an﹣1﹣1(n∈N* , N≥2)
(1)求證:數(shù)列{an﹣1}為等比數(shù)列;并求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{nan﹣n}的前n項和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在路邊安裝路燈,燈柱的高為米,路寬為23米,燈桿與燈柱角,路燈采用錐形燈罩,燈罩軸線與燈桿垂直,請你建立適當直角坐標系,解決以下問題:
(1)當
(2)且燈罩軸線正好通過道路路面的中線時,求燈桿的長為多少米?
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3ax2﹣9a2x+a3 . 若a> ,且當x∈[1,4a]時,|f′(x)|≤12a恒成立,則a的取值范圍為( )
A.( , ]
B.( ,1]
C.[﹣ ,1]
D.[0, ]
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【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)).以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標方程.
(1)求曲線C的極坐標方程;
(2)若直線l:θ=α(α∈[0,π),ρ∈R)與曲線C相交于A,B兩點,設(shè)線段AB的中點為M,求|OM|的最大值.
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【題目】經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),學(xué)生的注意力隨著老師講課時間的變化而變化,講課開始時,學(xué)生的興趣激增;中間有一段時間,學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài),隨后學(xué)生的注意力開始分散.設(shè)f(t)表示學(xué)生注意力隨時間t(分鐘)的變化規(guī)律(f(t)越大,表明學(xué)生注意力越集中),經(jīng)過實驗分析得知:f(t)= ,
(1)求出k的值,并指出講課開始后多少分鐘,學(xué)生的注意力最集中?能堅持多久?
(2)一道數(shù)學(xué)難題,需要講解24分鐘,并且要求學(xué)生的注意力至少達到185,那么經(jīng)過適當安排,老師能否在學(xué)生達到所需的狀態(tài)下講授完這道題目?
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