Question

【題目】已知函數(shù)滿足，對于任意，且.令.

（1）求函數(shù)解析式；

（2）探求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上沒有零點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）由，得，由可知，以及任意，可得，綜合求得；（2）是一分段函數(shù)，先討論對稱軸和與絕對值零點(diǎn)的大小，再在每種情況下討論絕對值零點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論.

試題解析：（1）由，得，由可知， 所以，又對于任意，，即都成立， 所以，，，

所以.

（2）,

若，，其對稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)； 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)， 在上為增函數(shù)；若，其對稱軸為，此時(shí)， 所以函數(shù)在上為減函數(shù)， 在上為增函數(shù)， 且，所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí) ，，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)， 在上為減函數(shù)，且，若，即時(shí)，函數(shù)在上沒有零點(diǎn)， 若，即時(shí)， 函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn).綜上得， 當(dāng)或時(shí)函數(shù)

在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上沒有零點(diǎn).